位相空間における連続写像

$X$ と $Y$ を位相空間とする。写像 $f: X \to Y$ が連続であるとは、$Y$ の任意の開集合 $V$ に対して、その逆像 $f^{-1}(V)$ が $X$ における開集合となることである。

位相空間論における連続写像は、「点がどのように対応づけられるか」よりも、「開集合の構造がどのように保たれるか」に注目する概念である。

解析学では連続性を距離や極限によって定義するが、位相空間論では開集合の性質だけを用いて連続性を定義する。そのため、距離の概念が存在しないような空間に対しても連続性を考えることができる。

注: 位相空間論における連続性は、解析学における連続性をより一般化した概念である。解析学では点同士の近さが重要となるが、位相空間論では開集合の構造が保存されるかどうかが本質となる。

例えば、ゴム板を破ったり貼り合わせたりせずに引き伸ばしたり曲げたりする操作は、位相的には連続変形として扱われる。このような変形は連続写像によって記述できる。

連続写像は、空間の位相構造を保ちながら点を別の空間へ対応させる役割を果たしている。

具体例
連続写像の基底判定定理
粗い位相と細かい位相における連続性
連結性と連続性の違い
関連事項

具体例

位相空間 $X = \{a, b, c, d\}$ と $Y = \{1, 2\}$ を考えよう。

$X$ の開集合は $\{\}, \{a\}, \{a, b\}, \{a, b, c, d\}$ である。
$Y$ の開集合は $\{\}, \{1\}, \{1, 2\}$ である。

このとき、写像 $f: X \rightarrow Y$ を次のように定める。

$ f(a) = 1 $, $ f(b) = 1 $, $ f(c) = 2 $, $ f(d) = 2 $

この写像が連続かどうかを調べてみよう。

下の図は、写像 $f$ と2つの位相空間を表したものであり、各空間の開集合を強調して示している。

位相空間における連続写像の例

連続性を確認するには、$Y$ の開集合の逆像が $X$ で開集合になるかを調べればよい。

$Y$ の開集合 $\{1\}$ の逆像は $ f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} $ であり、これは $X$ の開集合である。
$Y$ の開集合 $\{1,2\}$ の逆像は $ f^{-1}(\{1,2\}) = \{a, b, c, d\} $ であり、これも $X$ の開集合である。

空集合はどの位相においても開集合なので、特に確認する必要はない。

したがって、$Y$ のすべての開集合の逆像が $X$ においても開集合となるため、写像 $f$ は連続である。

例2

今度は別の写像 $g: X \rightarrow Y$ を考える。

$ g(a) = 1 $, $ g(b) = 1 $, $ g(c) = 1 $, $ g(d) = 2 $

この写像を図で表すと次のようになる。

/ja/math/ja-continuity-theorem-for-the-closure-of-a-set

同じように連続性を調べてみよう。

$Y$ の開集合 $\{1\}$ の逆像は $ g^{-1}(\{1\}) = \{a, b, c\} $ である。しかし、この集合は $X$ の開集合ではない。

この時点で、$Y$ の開集合の中に逆像が $X$ の開集合とならないものが存在することが分かる。

したがって、写像 $g$ は連続ではない。

例3

次に、恒等写像 $ id: X \to X $ を考える。

これは任意の $x \in X$ に対して

$$ x = f(x) $$

を満たす写像である。

恒等写像は、すべての点を自分自身に対応させるため、空間の構造をまったく変化させない。

その結果、$X$ の開集合はそのまま $X$ の開集合として保たれる。

したがって、恒等写像 $f(x)=x$ は常に連続である。

例4

次に、定数写像 $f:X \to Y$ を考える。

これは任意の $x \in X$ に対して

$$ f(x)=c $$

となる写像である。

つまり、どの点を入力しても、常に同じ値 $c$ が返される。

この写像が連続かどうかを調べるため、$Y$ の任意の開集合 $V$ の逆像を考える。

考えられる場合は次の2つである。

$c \in V$ の場合、すべての点が $V$ に写るので、逆像は空間全体 $X$ となる。$X$ は常に開集合である。
$c \notin V$ の場合、$V$ に写る点は存在しないので、逆像は空集合 $\emptyset$ となる。空集合も開集合である。

どちらの場合も逆像は開集合になる。

したがって、定数写像 $f(x)=c$ は連続である。

注: この例から分かるように、位相空間における連続性は写像の見た目だけで決まるわけではない。重要なのは、開集合の逆像がどのような集合になるかである。

例5

最後に、再び恒等写像 $f : X \to Y$ を考える。ただし今回は、定義域と値域に異なる位相を与える。

$X$ は実数全体の集合 $ \mathbb{R} $ に通常位相を入れた空間である。この位相では、開集合は $(a,b)$ の形の開区間で表される。
$Y$ は実数全体の集合 $ \mathbb{R} $ に下限位相を入れた空間である。この位相では、$[a,b)$ の形の区間が開集合となる。

写像 $f$ が連続かどうかを調べるため、$Y$ の開集合

$ [0,1) $

を考える。

この集合は下限位相では開集合である。

ところが、$f$ は恒等写像なので、その逆像はそのまま

$ f^{-1}([0,1)) = [0,1) $

となる。

しかし、通常位相において $ [0,1) $ は開集合ではない。

注: 通常位相では、集合内の各点の周囲に、その集合に完全に含まれる開区間が存在しなければならない。しかし点 $0$ の周囲の任意の開区間は負の実数を含むため、$[0,1)$ の内部に完全には含まれない。そのため $[0,1)$ は通常位相では開集合ではない。

したがって、定義域に通常位相、値域に下限位相を持つ恒等写像

$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $

は 連続ではない。

この例が示しているのは、位相空間における連続性が写像そのものだけでなく、定義域と値域に与えられた位相にも依存するという事実である。

同じ恒等写像 $f(x)=x$ であっても、空間に与えられた位相が異なれば、連続であったり連続でなかったりするのである。

連続写像の基底判定定理

$X$ と $Y$ を位相空間とする。写像 $f: X \to Y$ が連続であるための必要十分条件は、$Y$ の位相の基底に属するすべての基底要素 $B$ に対して、その逆像 $f^{-1}(B)$ が $X$ の開集合となることである。

この定理は、連続性を調べる際の手間を大幅に減らしてくれる便利な結果である。

連続写像の定義では、本来、値域 $Y$ のすべての開集合について、その逆像が定義域 $X$ の開集合であることを確認しなければならない。

しかし、基底判定定理を使えば、位相の基底を構成する集合だけを調べれば十分である。

つまり、少数の基底要素について確認するだけで、すべての開集合について調べたのと同じ結論が得られるのである。

証明. $Y$ の任意の開集合は、その位相の基底要素の和集合として表すことができる。一方、逆像は和集合と可換である。したがって、各基底要素の逆像が $X$ において開集合であれば、それらの和集合で表される任意の開集合の逆像も開集合となる。よって、$Y$ のすべての開集合の逆像が $X$ において開集合となり、写像 $f$ は連続である。

例

位相空間 $X = \{a, b, c, d\}$ と $Y = \{x, y, z\}$ を考える。

$X$ の位相を $ \tau_X = \{\emptyset, \{a\}, \{a, b\}, \{a, b, c, d\} \} $ とする。
$Y$ の位相は、基底 $ B_Y = \{\{x\}, \{y\}, \{z\}\} $ によって生成されるものとする。

この場合、$Y$ の開集合は基底要素の和集合によって作られる。

したがって、基底には含まれていなくても、基底要素を組み合わせて得られる集合はすべて開集合である。

例えば、$ \{x, y\} $、$ \{x, z\} $、$ \{y, z\} $、$ \{x, y, z\} $ は基底 $B_Y$ の要素ではない。しかし、それぞれ基底要素の和集合として表されるため、いずれも $Y$ の開集合である。

ここで、写像 $f: X \to Y$ を次のように定める。

$ f(a) = x $
$ f(b) = x $
$ f(c) = y $
$ f(d) = z $

この写像が連続かどうかを調べるには、基底要素 $\{x\}$、$\{y\}$、$\{z\}$ の逆像を確認すればよい。

$ f^{-1}(\{x\}) = \{a, b\} $ であり、これは $X$ の開集合である。
$ f^{-1}(\{y\}) = \{c\} $ である。しかし、$\{c\}$ は位相 $ \tau_X $ に含まれていないため、$X$ の開集合ではない。

この時点で連続性の条件が満たされていないことが分かる。

したがって、写像 $f$ は連続ではない。

注. 基底要素の逆像のうち1つでも開集合でないことが分かった時点で、それ以上調べる必要はない。例えば、$ f^{-1}(\{y\}) = \{c\} $ が開集合でないと判明した時点で、$ \{z\} $ の逆像を確認する必要はない。基底要素の逆像が1つでも開集合でなければ、その写像は連続ではない。

粗い位相と細かい位相における連続性

定義域の位相をより細かくすると、連続性の条件は満たされやすくなる。したがって、ある写像が粗い位相に関して連続であれば、その写像はより細かい位相に関しても連続である。

ただし、その逆は一般には成り立たない。細かい位相に関して連続であっても、粗い位相に関しては連続でないことがある。

粗い位相と細かい位相. 同じ集合 $X$ 上の2つの位相を比較したとき、開集合の数が少ない方を「粗い位相」、開集合の数が多い方を「細かい位相」という。

例

集合 $X = \{a, b\}$ に対して、次の2つの位相を考える。

粗い位相 $ \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} $。開集合は空集合と全体集合だけである。
細かい位相 $ \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} $。$\{a\}$ と $\{b\}$ も開集合である。

次に、$Y=\{1\}$ とし、写像 $f:X \to Y$ を次のように定める。

$$ f(a) = 1 $$

$$ f(b) = 1 $$

まず、粗い位相 $ \tau_1 $ に関して連続性を確認してみよう。

$ f^{-1}(\varnothing) = \varnothing $ は開集合である。
$ f^{-1}(\{1\}) = \{a,b\} $ も開集合である。

したがって、写像 $f$ は粗い位相 $ \tau_1 $ に関して連続である。

一方、細かい位相 $ \tau_2 $ では開集合の数が増えるが、$\tau_1$ の開集合はすべて $\tau_2$ に含まれている。

また、逆像そのものは位相を変えても変化しない。

そのため、先ほど確認した逆像は $\tau_2$ においても開集合である。

$ f^{-1}(\varnothing) = \varnothing $ は開集合である。
$ f^{-1}(\{1\}) = \{a,b\} $ は開集合である。

したがって、写像 $f$ は細かい位相 $ \tau_2 $ に関しても連続である。

この例は、粗い位相で連続な写像は、より細かい位相に移っても連続性を失わないことを示している。

ただし逆は一般には成り立たない。細かい位相で連続であっても、粗い位相で連続とは限らない。

例2

再び集合 $X=\{a,b\}$ に対して、同じ2つの位相を考える。

粗い位相 $ \tau_1 = \{\varnothing, \{a,b\}\} $
細かい位相 $ \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\} $

今度は $Y=\{1,2\}$ とし、写像 $g:X \to Y$ を次のように定義する。

$$ g(a) = 1 $$

$$ g(b) = 2 $$

まず、細かい位相 $ \tau_2 $ に関する連続性を確認する。

$ g^{-1}(\varnothing) = \varnothing $ は開集合である。
$ g^{-1}(\{1,2\}) = \{a,b\} $ は開集合である。
$ g^{-1}(\{1\}) = \{a\} $ は開集合である。
$ g^{-1}(\{2\}) = \{b\} $ は開集合である。

したがって、写像 $g$ は細かい位相 $ \tau_2 $ に関して連続である。

しかし、粗い位相 $ \tau_1 $ について調べると状況は変わる。

$ g^{-1}(\varnothing) = \varnothing $ は開集合である。
$ g^{-1}(\{1,2\}) = \{a,b\} $ は開集合である。
$ g^{-1}(\{1\}) = \{a\} $ であるが、これは $ \tau_1 $ の開集合ではない。

したがって、写像 $g$ は粗い位相 $ \tau_1 $ に関しては連続ではない。

このように、写像 $g$ は細かい位相 $ \tau_2 $ では連続である一方、粗い位相 $ \tau_1 $ では連続ではない。

この例は、位相を細かくした場合には連続性が保たれる一方で、逆方向では必ずしもそうならないことをよく示している。

連結性と連続性の違い

連結性と連続性は、どちらも位相空間論の基本概念である。しかし、この2つは同じものではない。

簡単に言えば、連結性は「空間そのもの」の性質であり、連続性は「写像」の性質である。

連結性は空間の性質
連結性は、位相空間の内部構造に関する概念である。位相空間 $X$ が連結であるとは、$X$ を2つの互いに素な非空開集合に分割できないことをいう。言い換えれば、空間が「途切れることなく一つにつながっている」ことを表している。連結性は空間そのものの性質であり、どのような写像を考えるかには依存しない。
連続性は写像の性質
連続性は、2つの位相空間の間の写像 $f: X \to Y$ に関する概念である。写像 $f$ が連続であるとは、$Y$ の任意の開集合の逆像が $X$ の開集合になることをいう。連続性が扱うのは空間の構造そのものではなく、写像がその構造をどのように保ちながら点を対応づけるかである。

例えば、標準位相を備えた実数空間 $\mathbb{R}$ 上の関数 $f(x)=x^2$ は連続である。しかし、この事実だけから $\mathbb{R}$ が連結であるかどうかを判断することはできない。

つまり、連結性と連続性は互いに関係しているものの、それぞれ異なる対象を扱う概念なのである。

実際、両者を結び付ける重要な定理が存在する。

$X$ が連結空間であり、$f: X \to Y$ が連続写像であるとすると、その像 $f(X)$ は $Y$ において連結となる。

この結果は、連続写像が連結性を保存することを示している。しかし、だからといって連結性と連続性が同じ概念になるわけではない。

連結性は空間の構造を表し、連続性は写像の振る舞いを表す。両者は役割の異なる概念なのである。

位相空間における連続写像

具体例

連続写像の基底判定定理

粗い位相と細かい位相における連続性

連結性と連続性の違い

関連事項