貼り合わせ補題
\( X \) を位相空間とし、\( A \) および \( B \) をその閉部分集合で \( A \cup B = X \) を満たすものとする。また、位相空間 \( Y \) への連続写像 \( f: A \to Y \) および \( g: B \to Y \) が与えられており、それらが共通部分 \( A \cap B \) 上で一致している、すなわち任意の \( x \in A \cap B \) に対して \( f(x)=g(x) \) が成り立つとする。このとき、次のように定義される写像 \( h: X \to Y \) $$ h(x)= \begin{cases} f(x) & \text{if } x \in A,\\ g(x) & \text{if } x \in B, \end{cases} $$ は連続である。
貼り合わせ補題（Pasting Lemma）は、位相空間論において非常に重要な結果の一つである。この補題によって、複数の部分集合上で定義された連続写像を組み合わせて、より大きな空間上の連続写像を構成できることが保証される。
直感的には、「それぞれの部分で連続であり、重なり合う部分でも矛盾がなければ、それらを一つの連続写像としてまとめられる」という内容である。
実際、重なりをもつ集合 \( A \) と \( B \) 上で定義された連続写像 \( f \) と \( g \) が、共通部分 \( A \cap B \) において同じ値をとるならば、それらを貼り合わせて和集合 \( A \cup B \) 上の連続写像 \( h \) を得ることができる。
具体例
貼り合わせ補題の考え方を理解するために、簡単な例を見てみよう。
次の2つの関数を考える。
- \( f:[0,1]\to\mathbb{R} \)、\( f(x)=x \)
- \( g:[1,2]\to\mathbb{R} \)、\( g(x)=2-x \)
どちらも一次関数なので、それぞれの定義域上で連続である。
次に、貼り合わせ補題の条件を確認する。
- 定義域が閉集合であること
区間 \( [0,1] \) と \( [1,2] \) は、ともに実数空間 \( \mathbb{R} \) の閉集合である。 - 空間全体を覆っていること
\( A=[0,1] \)、\( B=[1,2] \) とすると、 $$ A\cup B=[0,2] $$ となり、対象となる区間全体が覆われている。 - 共通部分で一致していること
共通部分は $$ A\cap B=\{1\} $$ である。
この点で両関数の値を比較すると、
\( f(1)=1 \)
\( g(1)=2-1=1 \)
となるので、
$$ f(1)=g(1) $$
が成り立つ。
したがって、貼り合わせ補題の仮定はすべて満たされている。
そこで、関数 \( h:[0,2]\to\mathbb{R} \) を
$$ h(x)= \begin{cases} x & \text{if } x\in[0,1],\\ 2-x & \text{if } x\in[1,2] \end{cases} $$
によって定義する。
この関数は、区間 \( [0,1] \) では直線 \( y=x \) に従い、区間 \( [1,2] \) では直線 \( y=2-x \) に従う。
さらに、境界点 \( x=1 \) において両者は同じ値をとるため、グラフは途中で途切れることなく接続される。
その結果、関数 \( h \) は区間 \( [0,2] \) 全体で連続となる。
グラフを描くと、2本の線分が頂点 \( (1,1) \) で結ばれた山形の折れ線になる。折れ曲がってはいるが、途中で飛びや切れ目が存在しないため、関数は連続である。
証明
貼り合わせ補題を証明するには、連続性の閉集合による特徴付けを用いる。
すなわち、写像 \( h:X\to Y \) が連続であることを示すためには、\( Y \) の任意の閉集合 \( C \subseteq Y \) に対して、その逆像
$$ h^{-1}(C) $$
が \( X \) の閉集合となることを示せば十分である。
\( h \) は \( A \) と \( B \) 上で別々に定義されているので、閉集合 \( C \) の逆像は
$$ h^{-1}(C)=f^{-1}(C)\cup g^{-1}(C) $$
と表せる。
ここで、
- \( f^{-1}(C) \) は、\( f \) によって \( C \) に写される \( A \) の点全体の集合である。
- \( g^{-1}(C) \) は、\( g \) によって \( C \) に写される \( B \) の点全体の集合である。
\( f \) は連続であり、\( C \) は閉集合なので、\( f^{-1}(C) \) は部分空間 \( A \) において閉集合である。
さらに、\( A \) 自体が \( X \) の閉集合であるため、\( f^{-1}(C) \) は \( X \) においても閉集合となる。
同様に、\( g \) の連続性から \( g^{-1}(C) \) は \( B \) において閉集合であり、\( B \) が \( X \) の閉集合であることから、\( g^{-1}(C) \) も \( X \) において閉集合である。
したがって、
$$ h^{-1}(C)=f^{-1}(C)\cup g^{-1}(C) $$
は \( X \) における2つの閉集合の和集合である。
位相空間では有限個の閉集合の和集合は閉集合であるため、\( h^{-1}(C) \) も閉集合となる。
以上より、任意の閉集合 \( C \subseteq Y \) に対して \( h^{-1}(C) \) は \( X \) の閉集合であることが分かった。
したがって、\( h \) は \( X \) 上で連続である。
これで貼り合わせ補題の証明は完了する。
貼り合わせ補題は、複雑な空間や写像を小さな部分に分けて考える際の基本的な道具であり、代数的位相幾何学や多様体論をはじめとする多くの分野で頻繁に用いられる重要な結果である。
