位相空間の直積と積位相

2つの位相空間 $X$ と $Y$ が与えられているとする。このとき、$X \times Y$ 上に定義される積位相とは、基底 $B$ によって生成される位相である。ここで基底 $B$ は、$X$ の開集合 $U$ と $Y$ の開集合 $V$ に対するすべての直積集合 $U \times V$ から構成される。 $$ B = \{ U \times V \mid U \text{ is open in } X \text{ and } V \text{ is open in } Y \} $$

積位相の考え方は非常に自然である。

$X \times Y$ のような直積空間に位相を導入したい場合、まず $X$ と $Y$ の開集合を組み合わせ、その直積 $U \times V$ を基本的な開集合として考える。

このような集合全体を $B$ と表し、これは位相の基底を与える。

位相の基底とは、空間内のあらゆる開集合が、基底要素の和集合として表せるような集合族のことである。

したがって、積位相では開集合の直積は再び開集合になる。

注: 積位相の開集合は、単純な直積集合 $U \times V$ だけに限られない。それらの直積集合を組み合わせた任意の和集合も、積位相における開集合となる。このため、集合族 $B$ は位相そのものではなく、積位相を生成するための基底として扱われる。もし $B$ をそのまま位相とみなすと、直積集合の和集合として現れる開集合を十分に含むことができない。

同様の性質は閉集合についても成り立つ。

積位相では、閉集合の直積も再び閉集合となる。

ただし、積位相に含まれるすべての閉集合が、閉集合同士の直積として表されるわけではない。

つまり、開集合の場合と同じように、積位相には閉集合の直積だけでは表現できない閉集合も存在する。

具体例
具体例 2
複数の位相空間の積
積位相の基底
補足

具体例

積位相のイメージをより直観的に理解するために、具体例を見てみよう。

次の2つの位相空間を考える。

$X$ は通常位相を備えた実数直線 $\mathbb{R}$ である。このとき開集合は開区間 $(a,b)$ で与えられる。
$Y$ も同様に、通常位相を備えた実数直線 $\mathbb{R}$ とする。

このとき、積空間 $X \times Y$ はデカルト平面 $\mathbb{R}^2$ を与える。

積位相の基底 $B$ を構成するには、$X$ の開集合 $U$ と $Y$ の開集合 $V$ のすべての直積 $U \times V$ を考えればよい。

たとえば、

$$ U = (1,2) \subset X $$

を $X$ の開区間とし、

$$ V = (3,4) \subset Y $$

を $Y$ の開区間とする。

このとき、

$$ U \times V = (1,2) \times (3,4) $$

は $\mathbb{R}^2$ における開集合となる。

これはデカルト平面上では、内部を含む開矩形として表される。

積位相における開矩形の例

次に、2つの基底要素の和集合を考えてみる。

まず、

$$ U_1 \times V_1 = (1,2) \times (3,4) $$

を取り、さらに、

$$ U_2 \times V_2 = (1.5,2.5) \times (3.5,4.5) $$

を考える。

これらは平面上の2つの開矩形を表している。

開集合の和集合の例

この2つの集合の和集合は、単一の直積 $U \times V$ の形にはならない。しかし、基底要素の和集合として表されているため、積位相では依然として開集合である。

$$ (1, 2) \times (3, 4) \cup (1.5, 2.5) \times (3.5, 4.5) $$

このように、積位相では基底要素を組み合わせることで、多様な開集合を構成できる。

たとえば、点 $(1.8,3.8)$ がこの開集合に含まれているかを確認してみよう。

$(1,2) \times (3,4)$ は点 $(1.8,3.8)$ を含んでいる。したがって、$(1.8,3.8)$ はこれら基底要素の和集合に属している。

積位相の具体例

この例から分かるように、基底 $B$ は直積空間 $X \times Y$ 上に自然な位相構造を与えている。

注: この位相は「積位相」と呼ばれる。積位相が重要なのは、元の位相空間 $X$ と $Y$ における開集合の構造を、直積空間 $X \times Y$ において自然な形で保てるためである。

具体例 2

積位相の仕組みをより具体的に理解するために、有限集合からなる簡単な例を考えてみよう。

次の2つの位相空間を用意する。

$X = \{a, b, c\}$ に位相 $\{\emptyset, \{a\}, \{b, c\}, X\}$ を入れる。
$Y = \{1, 2\}$ に位相 $\{\emptyset, \{1\}, Y\}$ を入れる。

積空間 $X \times Y$ 上の積位相を構成するには、まず $X$ と $Y$ の開集合の直積をすべて求め、その後、それらの任意の和集合を考える。

積位相の基底は次のように定義される。

$$ B = \{ U \times V \mid U \text{ is open in } X \text{ and } V \text{ is open in } Y \} $$

まず、$X$ の開集合を書き出してみる。

$\emptyset$
$\{a\}$
$\{b, c\}$
$X = \{a, b, c\}$

同様に、$Y$ の開集合は次のようになる。

$\emptyset$
$\{1\}$
$Y = \{1, 2\}$

これらの開集合の直積を計算すると、次の集合が得られる。

$\emptyset \times \emptyset = \emptyset$
$\emptyset \times \{1\} = \emptyset$
$\emptyset \times Y = \emptyset$
$\{a\} \times \emptyset = \emptyset$
$\{a\} \times \{1\} = \{(a, 1)\}$
$\{a\} \times Y = \{(a, 1), (a, 2)\}$
$\{b, c\} \times \emptyset = \emptyset$
$\{b, c\} \times \{1\} = \{(b, 1), (c, 1)\}$
$\{b, c\} \times Y = \{(b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$
$X \times \emptyset = \emptyset$
$X \times \{1\} = \{(a, 1), (b, 1), (c, 1)\}$
$X \times Y = \{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$

注: 集合の直積とは、第1成分が第1の集合に属し、第2成分が第2の集合に属する順序対全体の集合である。一般に、直積 $A \times B$ は次のように定義される。 \[ A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \text{ and } b \in B\} \] 一方の集合が空集合 $\emptyset$ の場合、その集合には要素が存在しないため、順序対を作ることができない。したがって、空集合と任意の集合との直積は常に空集合となる。 \[ \emptyset \times B = \emptyset \] たとえば、 \[ \emptyset \times \{1\} = \emptyset \] である。

積位相は、これらの直積集合の任意の和集合全体から構成される。したがって、$X \times Y$ 上の積位相には次のような集合が含まれる。

$\emptyset$
$\{(a, 1)\}$
$\{(a, 1), (a, 2)\}$
$\{(b, 1), (c, 1)\}$
$\{(b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$
$\{(a, 1), (b, 1), (c, 1)\}$
$X \times Y = \{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$
これらの集合の任意の和集合
たとえば、$\{(a, 1)\} \cup \{(b, 1), (c, 1)\} = \{(a, 1), (b, 1), (c, 1)\}$ などである。

つまり、積位相の開集合は、単なる直積集合だけではない。直積集合を組み合わせて得られる和集合もまた開集合になる。

たとえば、$\{(a, 1)\} \cup \{(b, 1), (c, 1)\}$ は積位相における開集合である。したがって、「積位相の開集合は $U \times V$ の形をした集合だけである」と考えるのは正しくない。

なお、位相 $X \times Y$ の基底 $B$ は、空でない直積集合のみから構成される。

$\{(a, 1)\}$
$\{(a, 1), (a, 2)\}$
$\{(b, 1), (c, 1)\}$
$\{(b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$
$\{(a, 1), (b, 1), (c, 1)\}$
$X \times Y = \{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$

複数の位相空間の積

積位相の考え方は、2つの空間に限らず、有限個の位相空間の積にも自然に拡張できる。

$n$ 個の位相空間 $X_1, X_2, \ldots , X_n$ を考える。それぞれの空間 $X_i$ において $U_i$ を開集合とするとき、直積集合 $U_1 \times U_2 \times \cdots \times U_n$ 全体は、積空間 $X_1 \times \cdots \times X_n$ 上の位相の基底を形成する。 $$ B = \{ U_1 \times U_2 \times \cdots \times U_n \mid U_i \text{ is open in } X_i \text{ for each } i \} $$

積位相の基底

一般に、2つの位相空間の開集合の直積は、積位相の基底を与える。

$$ B = \{ U \times V \mid U \text{ is open in } X \text{ and } V \text{ is open in } Y \} $$

しかし、実際にはこの基底は非常に大きくなることがある。

そのため、より簡潔で扱いやすい基底を用いることが多い。

2つの位相空間 $X$ と $Y$ を考え、それぞれの位相の基底を $B_X$、$B_Y$ とする。このとき、積位相 $X \times Y$ の基底は、それらの基底要素の直積によって与えられる。 $$ B = \{ U \times V \mid U \in B_X \text{ and } V \in B_Y \} $$

この集合 $B$ は、$X \times Y$ 上の積位相の基底となる。

言い換えれば、$B$ の各要素が積位相における基本開集合であり、この位相の任意の開集合は、それらの直積集合 $U \times V$ の和集合として表すことができる。

注: この考え方は、任意個の位相空間の積に対しても同様に拡張できる。$n$ 個の位相空間 $X_1 , X_2 , \ldots , X_n$ を考え、それぞれの空間 $X_i$ に対して $B_i$ をその基底とするとき、これらの基底要素の直積は、積空間 $X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n$ 上の積位相の基底を与える。 $$ B = \{ B_1 \times \cdots \times B_n \mid B_i \text{ is a basis for } X_i \text{ for } i = 1, \ldots, n \} $$

具体例

積位相の基底は、各位相空間のすべての開集合を使わなくても構成できる。

実際には、位相の「基底」だけを用いれば十分であり、それによってより小さく扱いやすい基底を作ることができる。

具体例を通して見てみよう。

次の2つの位相空間を考える。

位相空間 $ X = \{a, b\} $ に位相 $ \mathcal{T}_X = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} $ を入れる。
位相空間 $ Y = \{1, 2\} $ に位相 $ \mathcal{T}_Y = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\} $ を入れる。

このとき、$X$ の最小基底は

$$ B_X = \{\{a\}, \{b\}\} $$

であり、$Y$ の最小基底は

$$ B_Y = \{\{1\}, \{2\}\} $$

となる。

積位相の基底を作るには、これらの基底要素同士の直積を考えればよい。

すると、次の4つの集合が得られる。

$$ \{a\} \times \{1\} = \{(a, 1)\} $$

$$ \{a\} \times \{2\} = \{(a, 2)\} $$

$$ \{b\} \times \{1\} = \{(b, 1)\} $$

$$ \{b\} \times \{2\} = \{(b, 2)\} $$

したがって、$ X \times Y $ 上の積位相の最小基底は

$$ B_{\mathrm{min}} = \{\{(a, 1)\}, \{(a, 2)\}, \{(b, 1)\}, \{(b, 2)\}\} $$

となる。

この基底だけで、$ X \times Y $ 上の積位相全体を生成することができる。

つまり、積位相の任意の開集合は、これらの基底要素の和集合として表される。

注: この例では、これ以上細かく分解できない最小の開集合だけを使って積位相を記述している。そのため、位相全体をより簡潔かつ効率的に扱うことができる。

証明

次に、

$$ B = \{U \times V \mid U \in B_X \text{ and } V \in B_Y\} $$

が $ X \times Y $ 上の積位相の基底になることを示す。

ここで、$ B_X $ は $ X $ の位相の基底、$ B_Y $ は $ Y $ の位相の基底である。

積位相における開集合は、$X$ の開集合 $U$ と $Y$ の開集合 $V$ の直積 $U \times V$ の和集合として定義される。

したがって、$B$ が積位相の基底であることを示すには、任意の開集合 $W \subseteq X \times Y$ が、$B$ の要素の和集合として表されることを確認すれば十分である。

基底条件の確認

$W$ を $X \times Y$ 上の開集合とし、$(x,y)$ を $W$ の任意の点とする。

積位相の定義より、$X$ の開集合 $U' \subseteq X$ と $Y$ の開集合 $V' \subseteq Y$ が存在して、

$$ (x,y) \in U' \times V' \subseteq W $$

を満たす。

$U'$ は $X$ の開集合であり、$B_X$ は $X$ の基底であるから、ある $U \in B_X$ が存在して、

$$ x \in U \subseteq U' $$

となる。

同様に、$V'$ は $Y$ の開集合であり、$B_Y$ は $Y$ の基底であるから、ある $V \in B_Y$ が存在して、

$$ y \in V \subseteq V' $$

となる。

したがって、

$$ (x,y) \in U \times V \subseteq U' \times V' \subseteq W $$

が成り立つ。

つまり、開集合 $W$ の任意の点 $(x,y)$ は、$B$ のある要素 $U \times V$ に含まれ、その集合はさらに $W$ に含まれている。

結論

以上より、積位相の任意の開集合は、基底 $B$ の要素の和集合として表される。

したがって、

$$ B = \{U \times V \mid U \in B_X \text{ and } V \in B_Y\} $$

は、$ X \times Y $ 上の積位相の基底である。

これで証明は完了である。

補足

積位相には、さらに重要ないくつかの定理や性質がある。

積部分空間定理
位相空間 $X$ と $Y$ の部分空間 $A$、$B$ を考える。このとき、$A \times B$ を $X \times Y$ の部分空間として考えた場合に得られる部分位相は、$A$ と $B$ にそれぞれ誘導される部分位相から構成される積位相と一致する。 $$ \tau_{A \times B}^{\mathrm{sub}} = \tau_A^{\mathrm{sub}} \times \tau_B^{\mathrm{sub}} $$
積空間の位相同型性
3つの位相空間 $ X $、$ Y $、$ Z $ に対して、積空間 $ (X \times Y) \times Z $、$ X \times (Y \times Z) $、および $ X \times Y \times Z $ は互いに位相同型である。つまり、積をどのように括弧付けしても、本質的には同じ位相空間になる。 $$ (X \times Y) \times Z \cong X \times (Y \times Z) \cong X \times Y \times Z $$
直積集合の内部に関する定理
位相空間 $X$、$Y$ に属する集合 $A$、$B$ に対して、直積集合 $A \times B$ の内部は、それぞれの内部の直積に一致する。 $$ \mathrm{Int}(A \times B) = \mathrm{Int}(A) \times \mathrm{Int}(B) $$

このように、積位相は位相空間論における基本概念のひとつであり、多くの定理や構成の基礎となっている。