より細かい位相とより粗い位相の違い
「より細かい位相」と「より粗い位相」は、同じ集合に複数の位相が与えられたとき、それらを比較するための基本的な概念です。どちらも位相空間論の根幹に関わるアイデアで、連続写像の理解にも直結します。
- より細かい位相
他の位相より開集合が多いとき、その位相は「細かい」と呼ばれます。 - より粗い位相
開集合が少ない場合、その位相は「粗い」とされます。開集合が限定される分、単純な構造を持ちます。
具体的なイメージ
集合 \( X = \{a, b\} \) を例に、次の二つの位相を比べてみます。
- 自明位相 \( \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} \)
- もう一つの位相 \( \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{a, b\}\} \)
ここでは \( \tau_2 \) が \( \tau_1 \) より開集合を多く含むため、\( \tau_2 \) は「細かい」、\( \tau_1 \) は「粗い」と言えます。
位相の細かさと連続写像
重要な事実として、ある写像が「粗い位相」で連続であれば、それは必ず「細かい位相」でも連続です。
連続性の判定は、像の開集合に対してその逆像が開集合になるかどうかに基づきます。
細かい位相では開集合が増えるため、連続性を確かめる対象も多くなります。逆に、粗い位相では開集合が限られるので、条件を満たしやすいという特徴があります。
粗い位相で連続なら細かい位相でも連続という関係は成り立ちますが、反対向きは一般には成立しません。
例 1
再び \( X = \{a, b\} \) に二つの位相を与えます。
- 粗い位相 \( \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} \)
- 細かい位相 \( \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} \)
写像 \( f: X \to Y \) を定値写像として定義します。
$$ f(a)=1,\quad f(b)=1 $$
この写像はすべての元を同じ値に送るため、逆像がシンプルになります。
- \( f^{-1}(\{1\}) = \{a,b\} \) は \( \tau_2 \) で開集合。
- \( f^{-1}(\varnothing) = \varnothing \) は常に開集合。
したがって \( f \) は細かい位相 \( \tau_2 \) で連続です。
さらに、粗い位相 \( \tau_1 \) の開集合は二つしかありません。
- \( f^{-1}(\{1\}) = \{a,b\} \) は開集合。
- \( f^{-1}(\varnothing) = \varnothing \) も開集合。
よって \( f \) は粗い位相でも連続です。
例 2
今度は写像の振る舞いがより特徴的に現れます。
- 粗い位相 \( \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} \)
- 細かい位相 \( \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} \)
写像 \( g: X \to Y \) を次のように定義します。
$$ g(a)=1,\quad g(b)=2 $$
細かい位相 \( \tau_2 \) においては、すべての逆像が開集合になります。
- \( g^{-1}(\varnothing)=\varnothing \)
- \( g^{-1}(\{1,2\})=\{a,b\} \)
- \( g^{-1}(\{1\})=\{a\} \)
- \( g^{-1}(\{2\})=\{b\} \)
したがって \( g \) は細かい位相で連続です。
しかし粗い位相 \( \tau_1 \) を見ると問題が生じます。
- \( g^{-1}(\{1\})=\{a\} \) は \( \tau_1 \) の下では開集合ではありません。
このため、\( g \) は粗い位相では連続になりません。
まとめ
このように、位相の細かさは写像の連続性に直接影響します。
開集合が多い細かい位相では条件が厳しく、開集合が少ない粗い位相では条件が緩やかになるため、連続性の成立条件が逆転することがあるのです。
位相空間の理解を深めるうえで、非常に基本でありながら本質的なポイントです。
