商位相と連続写像

商位相では、全射 \( f: X \to A \) は定義によって自動的に連続になります。これは、集合 \( V \subseteq A \) が開集合であることを、その逆像 \( f^{-1}(V) \) が \( X \) において開集合であることと同値になるように位相が定められているためです。

位相空間 \( X \) と全射 \( f: X \to A \) を考えましょう。ここで、\( A \) は \( X \) の部分集合である必要はなく、任意の集合で構いません。

\( A \) に商位相を入れると、写像 \( f \) は必ず連続になります。

その理由は、商位相の定義そのものにあります。商位相では、集合 \( V \subseteq A \) が開集合であるかどうかを、逆像 \( f^{-1}(V) \) が \( X \) において開集合であるかどうかによって判定します。

つまり、開集合の定義が最初から \( f \) の逆像を基準としているため、連続写像の条件が自動的に満たされるのです。

注。一般に、写像の連続性を調べるには開集合の逆像を確認する必要があります。しかし商位相では、その条件が位相の定義に組み込まれているため、\( f \) の連続性は最初から保証されています。

具体例

仕組みを理解するために、簡単な例を見てみましょう。

\( X = \{a, b, c\} \) とし、3つの点からなる集合を考えます。

さらに、\( A = \{1, 2\} \) として、全射 \( f: X \to A \) を次のように定めます。

\( f(a) = f(b) = 1 \)
\( f(c) = 2 \)

この写像では、\( X \) の点 \( a \) と \( b \) が、\( A \) ではどちらも 1 に対応します。言い換えれば、\( a \) と \( b \) は商空間において1つの点としてまとめられています。

商位相では、集合 \( V \subseteq A \) の逆像 \( f^{-1}(V) \) が \( X \) において開集合であるときに限り、\( V \) を開集合とみなします。

例えば、\( V = \{1\} \subseteq A \) を考えると、その逆像は \( f^{-1}(\{1\}) = \{a,b\} \) です。したがって、\( \{a,b\} \) が \( X \) において開集合であれば、\( \{1\} \) は \( A \) においても開集合になります。

この場合、\( A \) の開集合は次のようになります。

\( \emptyset \)
\( \{1\} \)
\( \{2\} \)
\( \{1,2\} \)

それぞれの逆像を確認すると、次のようになります。

\( f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \)。空集合は常に開集合です。
\( f^{-1}(\{1,2\}) = \{a,b\} \cup \{c\} = \{a,b,c\} = X \)。空間全体 \( X \) は常に開集合です。
\( f^{-1}(\{1\}) = \{a,b\} \)。これは \( X \) において開集合です。
\( f^{-1}(\{2\}) = \{c\} \)。これも \( X \) において開集合です。

このように、\( A \) の開集合の逆像はすべて \( X \) において開集合になります。

したがって、連続写像の定義により、写像 \( f \) は連続です。

要するに、商位相は「写像 \( f \) を連続にするための最も自然な位相」と考えることができます。

そのため、写像 \( f \) の連続性は、\( A \) 上の商位相の定義から直接導かれる性質なのです。