連続関数の合成定理

2つの関数 $ f: X \to Y $ と $ g: Y \to Z $ がともに連続であれば、それらの合成関数 $ g \circ f: X \to Z $ も連続である。

この定理は、連続関数どうしを順に組み合わせても、その結果として得られる関数は引き続き連続になることを述べています。

具体的には、次の2つの連続関数が与えられているとします。

まず $ f $ を適用し、その出力に対して $ g $ を適用すると、合成関数 $ g \circ f $ が得られます。この定理によれば、この合成関数も連続です。

つまり、連続関数をいくつ重ね合わせても、連続性は失われません。

具体例

実際の例で確認してみましょう。内側の関数を $ f $、外側の関数を $ g $ とします。

$$ f(x) = x^2 \ \text{on} \ \mathbb{R} $$

$$ g(y) = \frac{y}{2} \ \text{on} \ \mathbb{R} $$

どちらの関数も $ \mathbb{R} $ 上で連続です。

そこで、合成関数 $ g \circ f(x) $ が $ \mathbb{R} $ 全体で連続であることを確かめます。

例として、開区間 $ (-2,2) \subset \mathbb{R} $ を考えます。

関数 $ f $ によるこの区間の像は、区間 $ [0,4) $ になります。

$ f $ の出力はそのまま $ g $ の入力となるため、$ f $ の値域は $ g $ の定義域に含まれています。

さらに、区間 $ [0,4) $ を $ g $ で写すと、その像は $ [0,2) $ になります。

一方、合成関数は次のように表されます。

$$ g \circ f(x) = \frac{x^2}{2} $$

この合成関数について、開区間 $ (-2,2) $ の逆像を求めると、

$$ (g \circ f)^{-1}((-2,2)) = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid -2 < \frac{x^2}{2} < 2 \right\} $$

となります。

$ \frac{x^2}{2} \geq 0 $ であるため、左側の不等式は常に満たされます。一方、右側の不等式からは $ x^2 < 4 $、すなわち $ -2 < x < 2 $ が得られます。

したがって、

$$ (g \circ f)^{-1}((-2,2)) = (-2,2) $$

となり、逆像は開集合であることが分かります。

開集合の逆像が常に開集合になることは、連続性を判定する基本的な条件です。

この考え方は $ \mathbb{R} $ の任意の開集合について成り立つため、合成関数 $ g \circ f(x) $ は $ \mathbb{R} $ 全体で連続であることが分かります。

次に、この定理を一般の場合について証明します。

$ Z $ の任意の開集合 $ U $ を取ります。示すべきことは、合成関数 $ g \circ f $ による逆像 $ (g \circ f)^{-1}(U) $ が $ X $ において開集合であることです。

$ g $ は連続なので、逆像 $ g^{-1}(U) $ は $ Y $ の開集合になります。

さらに、$ f $ も連続なので、その逆像 $ f^{-1}(g^{-1}(U)) $ は $ X $ の開集合です。

ここで、逆像の基本性質より、

$$ (g \circ f)^{-1}(U) = f^{-1}(g^{-1}(U)) $$

が成り立ちます。

したがって、$ (g \circ f)^{-1}(U) $ は $ X $ の開集合になります。

任意の開集合の逆像が開集合であることは連続性の定義そのものです。

以上より、合成関数 $ g \circ f $ は連続であることが示されました。