位相空間における稠密集合の定義と具体例

位相空間 $ X $ において，部分集合 $ A $ が 稠密集合（dense set）であるとは，その閉包が空間全体 $ X $ に一致する場合をいう。 $$ \overline{A} = X $$

直観的に言えば，稠密集合とは空間の至るところに広がっている集合である。すなわち，任意の点はその集合に含まれるか，あるいはその集合の点によっていくらでも近くまで近づくことができる。

集合 $ A $ の閉包とは，$ A $ に含まれる点すべてに加えて，その極限点も含めた集合である。

具体例

例1

実数全体 $ \mathbb{R} $ に通常位相を入れた場合，有理数全体の集合 $ \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $ は稠密である。

なぜなら，任意の2つの異なる実数の間には必ず有理数が存在するからである。したがって，どの実数も，有理数を用いていくらでも近くまで近似することができる。

このとき，有理数集合の閉包は実数全体に一致する。

$$ \overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R} $$

ゆえに，$ \mathbb{Q} $ は $ \mathbb{R} $ において稠密集合である。

注．同様に，無理数全体の集合 $ \mathbb{I} \subset \mathbb{R} $ も稠密である。任意の実数は無理数によっても任意の精度で近似できるためである。したがって，その閉包も実数全体に一致する。 $$ \overline{\mathbb{I}} = \mathbb{R} $$

例2

実数全体 $ \mathbb{R} $ に有限補位相を入れた場合，集合 $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ は稠密となる。

この位相では，補集合が有限集合である集合が開集合と定義される。

$ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ の補集合は \{ 0 \} のみであり有限であるため，この集合は開集合である。

この集合の閉包を考えると，そのすべての集積点を含める必要がある。

$ 0 $ を加えると集合は実数全体 $ \mathbb{R} $ になるため，これを含む最小の閉集合は $ \mathbb{R} $ に他ならない。

したがって，閉包は次のようになる。

$$ \overline{\mathbb{R} \setminus \{0\}} = \mathbb{R} $$

ゆえに，この集合は稠密である。

注．この例は有限補位相の特徴をよく表している。この位相では，すべての無限集合が自動的に稠密となる。閉集合は有限集合に限られるため，無限集合を含むことができる閉集合は $ \mathbb{R} $ 全体しか存在しない。

例3

実数全体 $ \mathbb{R} $ の通常位相において，開区間 (0,1) は稠密ではない。

区間 (0,1) の閉包は [0,1] であり，端点 0 と 1 を含む。これは，これらの点の任意の近傍が区間 (0,1) と交わるためである。

しかし，この閉包は実数全体 $ \mathbb{R} $ を覆ってはいない。

したがって，(0,1) は $ \mathbb{R} $ において稠密集合ではない。

注．一方で，区間 [0,1] を部分空間とみなし，その上の相対位相を考えると，(0,1) は [0,1] において稠密となる。この場合，閉包はちょうど [0,1] に一致する。この例から，稠密性は考える空間によって変わりうる概念であることがわかる。

このように，稠密集合は位相空間の構造を理解するうえで重要な役割を果たす基本的な概念である。