商位相と商空間

\(X\) を位相空間とし、\(A\) を \(X\) の部分集合であるとは限らない集合とする。また、全射 \(p:X\rightarrow A\) が与えられているとする。このとき、\(A\) の部分集合 \(U\) が \(A\) において開集合であることと、その逆像 \(p^{-1}(U)\) が \(X\) において開集合であることは同値である。

言い換えると、\(A\) 上の商位相では、ある集合 \(U\) が開集合であるかどうかは、その逆像 \(p^{-1}(U)\) が元の空間 \(X\) において開集合であるかによって判断される。

この考え方によって、既に性質がよく分かっている位相空間 \(X\) から、新しい位相空間 \(A\) を構成することができる。このとき \(A\) に与えられる位相を商位相という。

また、集合 \(A\) は商空間、写像 \(p\) は商写像と呼ばれる。

商位相は「\(p\) によって誘導される位相」とも考えられる。開集合の判定を \(A\) ではなく \(X\) 上で行えるため、複雑な空間を比較的扱いやすい空間を通じて調べることができる。

つまり、商位相では、元の空間で見たときに開いている構造を保ちながら、新しい空間を構成するのである。

ここで、よくある誤解について整理しておこう。

• 商空間 \(A\) の開集合の逆像は、必ず元の空間 \(X\) で開集合になる。
• しかし、その逆は一般には成り立たない。\(X\) の開集合の像が、必ずしも \(A\) で開集合になるとは限らない。
• これは、商写像が複数の点を一つにまとめることで、空間の構造を変化させるためである。

要するに、商空間とは、ある同値関係に基づいて複数の点を同一視し、その結果として得られる位相空間である。

より直感的には、空間の一部を「貼り合わせる」ことで新しい空間を作り、その性質を調べるための仕組みだと考えることができる。

なぜ商位相が重要なのだろうか。 商位相を用いることで、複雑な空間を直接扱う代わりに、より単純な空間からその構造を理解できるようになる。そのため、位相空間論をはじめ、多様体論や代数的位相幾何学などのさまざまな分野で基本的な役割を果たしている。

直感的なイメージ

商位相という概念は定義だけを見ると抽象的に感じられるかもしれない。しかし、「図形を貼り合わせる操作」として考えると理解しやすくなる。

商位相は、図形の特定の部分を貼り合わせて新しい図形を作る方法と考えることができる。

例えば、一枚の正方形の紙を想像してみよう。向かい合う二辺を貼り合わせると円筒ができる。

さらに、その円筒の両端の円周を貼り合わせると、ドーナツ状の曲面であるトーラスになる。

この例では、正方形という単純な図形から、円筒、さらにトーラスというより複雑な空間が作られている。

商位相の本質もこれと同じである。空間の一部を同一視することで、新しい位相空間を構成するのである。

この考え方は、曲面や多様体の研究だけでなく、現代数学の多くの分野で広く利用されている。

具体例

位相空間 \(X=[0,1]\) を考えよう。ここでは通常の位相を入れており、開集合は開区間や開区間の和集合で与えられる。

例えば、次の集合は開集合である。

• 空集合 \( \emptyset \)
• 集合全体 \( X \)
• \(0\leq a

\(X\) は、端点が \(0\) と \(1\) の線分として考えることができる。

ここで、線分の両端にある点 \(0\) と \(1\) を同じ点として扱ってみよう。

つまり、線分の両端を貼り合わせるのである。

そのために、次の写像 \(p:[0,1]\rightarrow A\) を定義する。

$$ p(x) = \begin{cases} p(0) & \text{if } x = 0 \text{ or } x = 1 \\ \\ x & \text{if } 0 < x < 1 \end{cases} $$

この操作によって得られる商集合 \(A\) は、幾何学的には円として理解することができる。

言い換えれば、線分を曲げて端点 \(0\) と \(1\) をつなぎ合わせたのである。

新しく得られた空間 \(A\) では、点 \(0\) と点 \(1\) は区別されず、一つの点 \(P=\{0,1\}\) として扱われる。

次に、\(A\) 上でどの集合を開集合とみなすかを決めなければならない。

商位相の定義によれば、集合 \(U\subseteq A\) が開集合であるための必要十分条件は、その逆像 \(p^{-1}(U)\) が \([0,1]\) において開集合であることである。

具体的には次の二つの場合を考えることができる。

1. \(P\) を含まない開区間 \(U=(a,b)\)
   この場合、逆像はそのまま区間 \( (a,b) \) となる。これは \(X\) の開集合なので、\(U\) も \(A\) の開集合である。
2. \(P=\{0,1\}\) を含む開近傍 \(U\)
   この場合、逆像は \( [0,a)\cup(b,1] \) の形になる。この集合は \([0,1]\) の部分空間位相において開集合であるため、\(U\) も \(A\) の開集合となる。

このようにして、単純な線分 \( [0,1] \) から円という新しい位相空間を構成することができる。

これは、商位相が単純な空間からより複雑な空間を作り出すための強力な道具であることを示す代表的な例である。

例 2

この例では、商位相の考え方を使って、実数直線を円周へ巻き付ける方法を見ていこう。

まず、両方向に無限に延びる実数直線 \( \mathbb{R} \) を考える。

ここで、各実数をその小数部分によって識別すると、実数直線上の点を円周上の点へ対応付けることができる。

そのために、次の写像を定義する。

$$ p(x)=x \bmod 1 $$

この写像は、実数 \(x\) の整数部分を取り除き、小数部分だけを取り出す操作に対応している。

したがって、整数だけ異なる実数はすべて同じ点として扱われる。

例えば、\(x=1.3\) の小数部分は \(0.3\) なので、円周上の対応する点へ写される。また、\(x=2.7\) は \(0.7\) に写されるため、\(0.7\) と同じ位置に対応する。

一般に、実数 \(x\) に整数を加えても対応する位置は変わらない。例えば、1.3、2.3、3.3 はすべて円周上の同じ点を表している。

これが、実数直線を円周に「巻き付ける」と表現される理由である。円周上では 0 と 1 が同一視されるため、直線は繰り返し円周を一周する形になる。

それでは、この写像の下でいくつかの区間がどのように対応するのかを見てみよう。

• \( \mathbb{R} \) 上の区間 /ja/math/ja-union-of-open-sets-in-quotient-topology\( (0,1) \)
  区間 \( (0,1) \) は円周上の一つの開いた弧に対応する。ただし、0 に対応する点は含まれない。この集合の逆像は \( (0,1) \) 自身であり、\( \mathbb{R} \) において開集合である。したがって、対応する弧も商空間において開集合となる。
  
• \( \mathbb{R} \) 上の区間 \( (1,2) \)
  区間 \( (1,2) \) も同じ開いた弧に対応する。なぜなら、1 と 2 はともに円周上では 0 と同一視されるからである。実際/ja/math/ja-union-of-open-sets-in-quotient-topology、\(1 \bmod 1 = 0 \bmod 1\) が成り立つ。そのため、この区間は再び円周上の \( (0,1) \) に対応し、新しい位相的情報を与えることはない。
  
• \( \mathbb{R} \) 上の区間 \( (0,2) \)
  区間 \( (0,2) \) は実数直線上では開区間である。この区間を円周へ写すと、途中で 1 を通過するため、円周全体を覆うことになる。したがって、その像は円周全体である。位相空間では全体集合は常に開集合であり、同時に閉集合でもある。このような集合を開閉集合（clopen set）という。
  /ja/math/ja-union-of-open-sets-in-quotient-topology

ポイント：この例から分かるように、元の空間で開集合であった集合の像が、商空間でも同じように振る舞うとは限らない。

一方で、商位相の定義から、円周上の開集合の逆像は常に実数直線上の開集合になる。

これは、円周上の開集合を引き戻すと、開区間または開区間の和集合として表されるためである。

しかし、その逆は一般には成立しない。

つまり、元の空間で開集合であっても、その像が商空間で開集合になるとは限らないのである。

この例の重要なポイント

商写像によって複数の点が同一視されると、集合の境界や構造の見え方が変化する。そのため、元の空間で成立していた性質が、そのまま商空間へ引き継がれるとは限らない。

例 3

次に、有限集合を用いた商空間の例を見てみよう。

ここでは、連続する整数列の最初と最後の点を結び付けることで、新しい空間を構成する。

まず、1 から 7 までの連続する整数からなる集合

$$ I_7=\{1,2,3,4,5,6,7\} $$

を考える。

これは連続した整数から構成されるため、デジタル区間と呼ばれる。

ここで、最初の点 1 と最後の点 7 を同一視する。

これは、線分の両端をつなぎ合わせて輪を作る操作に対応している。

この操作によって得られるのが、デジタル円 \(C_6\) である。

このデジタル円は 6 個の点から構成され、それぞれの点は二つの隣接点と接続している。

これは商空間の分かりやすい例である。なぜなら、点の同一視によって、元のデジタル区間とは異なる新しい空間が作られているからである。

注意：この構成は、実数区間の両端を貼り合わせて円を作る場合と本質的に同じ考え方に基づいている。ただし、ここで扱うのは有限個の点からなる離散的な構造である。

また、このデジタル円はデジタルトポロジーの代表例としても知られている。

各点が隣接点と結ばれているため、連結性やデジタル開集合など、デジタルトポロジー特有の概念を適用することができる。

そのため、この構造は有限集合でありながら、多くの位相的性質を研究するための基本的なモデルとなっている。

注意：デジタルトポロジーでは、集合 \(U\) が開集合であるかどうかは、採用する隣接関係によって決まる。例えば、一次元の閉路では 2-近傍、二次元格子では 4-近傍や 8-近傍、三次元格子では 6-近傍や 18-近傍などが用いられる。

最後に強調しておきたいのは、商位相とデジタルトポロジーは別の理論体系であるという点である。

確かに、このデジタル円は商空間として構成できる。また、デジタルトポロジーの対象として研究することもできる。

しかし、両者は異なる定義と目的に基づく理論であり、同じものとして扱うべきではない。

例 4

ここでは、商位相が実際にどのように決まるのかを理解するために、非常にシンプルな例を見てみよう。

実数直線 \( \mathbb{R} \) に通常の位相を入れ、次の全射

$$ p:\mathbb{R}\longrightarrow\{a,b,c\} $$

を考える。

写像 \(p\) は次のように定義される。

$$ p(x)= \begin{cases} a & \text{if } x<0,\\ \\ b & \text{if } x=0,\\ \\ c & \text{if } x>0. \end{cases} $$

この写像は、負の実数全体を一点 \(a\) にまとめ、原点 \(0\) を点 \(b\) に対応させ、正の実数全体を一点 \(c\) にまとめるものである。

商位相では、ある集合が開集合かどうかは、その逆像が元の空間で開集合になっているかによって判断される。

まず、それぞれの点の逆像を求めてみよう。

• \( p^{-1}(a)=(-\infty,0) \)
• \( p^{-1}(b)=\{0\} \)
• \( p^{-1}(c)=(0,\infty) \)

ここで重要なのは、これらの集合が \( \mathbb{R} \) において開集合かどうかである。

• \( (-\infty,0) \) は開集合である。
• \( (0,\infty) \) も開集合である。
• \( \{0\} \) は開集合ではない。

したがって、商位相の定義から次の集合は開集合となる。

• \( \{a\} \)
  逆像 \( (-\infty,0) \) が開集合であるため。
• \( \{c\} \)
  逆像 \( (0,\infty) \) が開集合であるため。
• \( \{a,c\} \)
  逆像 \( (-\infty,0)\cup(0,\infty)=\mathbb{R}\setminus\{0\} \) が開集合であるため。

さらに、位相空間の基本公理により、空集合と全体集合も常に開集合である。

• 空集合 \( \emptyset \)
  逆像も空集合であり、常に開集合である。
• 全体集合 \( \{a,b,c\} \)
  逆像は \( \mathbb{R} \) 全体であり、これは開集合である。

一方で、集合 \( \{b\} \) は開集合ではない。

その理由は、逆像 \( \{0\} \) が \( \mathbb{R} \) において開集合ではないからである。

以上より、この商位相の開集合全体は

$$ \tau= \left\{ \emptyset,\, \{a\},\, \{c\},\, \{a,c\},\, \{a,b,c\} \right\} $$

となる。

つまり、この空間では \(a\) と \(c\) は単独で開集合を形成できるが、\(b\) はそうではない。

この違いは、原点に対応する点 \(b\) が、他の二点とは異なる位相的な位置付けを持っていることを示している。

商位相の基本的な性質

商位相は特殊な構成方法によって得られるが、位相として満たすべき基本的な性質は通常の位相空間と同じである。

• 空集合と全体集合は常に開集合である

  これは商位相に限らず、すべての位相空間に共通する基本的な性質である。

  • 空集合の場合
    $$ p^{-1}(\emptyset)=\emptyset $$ となる。空集合は位相の公理によって常に開集合である。
  • 全体集合の場合
    $$ p^{-1}(A)=X $$ が成り立つ。空間全体 \(X\) は常に開集合であるため、商空間全体 \(A\) も開集合となる。

  補足：空集合と全体集合が開集合であることは位相の定義そのものに含まれている。そのため、商位相でも自動的に成立する。

• 商位相における開集合の任意和

  \(\{U_i\}_{i\in I}\) を商空間 \(A\) の開集合族とする。

  各 \(U_i\) が開集合であれば、その逆像 \(p^{-1}(U_i)\) は元の空間 \(X\) において開集合である。

  逆像は和集合について保存されるので、

  $$ p^{-1}\!\left( \bigcup_{i\in I}U_i \right) = \bigcup_{i\in I} p^{-1}(U_i) $$

  が成り立つ。

  右辺は開集合の任意和であるため開集合である。

  したがって、

  $$ \bigcup_{i\in I}U_i $$

  も商空間 \(A\) において開集合となる。

  補足：商位相でも、通常の位相空間と同様に、開集合の任意和は開集合のままである。

• 商位相における開集合の有限共通部分

  \(U_1,\dots,U_n\) を商空間 \(A\) の開集合とする。

  それぞれの逆像 \(p^{-1}(U_i)\) は \(X\) において開集合である。

  さらに、逆像は有限共通部分についても保存されるため、

  $$ p^{-1}\!\left( \bigcap_{i=1}^{n}U_i \right) = \bigcap_{i=1}^{n} p^{-1}(U_i) $$

  が成り立つ。

  右辺は有限個の開集合の共通部分であるため、やはり開集合となる。

  したがって、

  $$ \bigcap_{i=1}^{n}U_i $$

  も商空間 \(A\) において開集合となる。

  補足：この性質によって、商位相が確かに位相の公理を満たしていることが保証される。

このように、商位相では「逆像が開集合であること」を基準として開集合を定める。

その結果、元の空間の情報を利用しながら、新しく構成された空間の位相的な性質を調べることができる。

商位相は位相空間論の基本概念の一つであり、多様体論、代数的位相幾何学、幾何学的群論など、現代数学の幅広い分野で重要な役割を果たしている。