集合 X 上の位相の例
ここでは、集合 X 上にどのような位相が考えられるかを、具体的に整理してみましょう。
$$ X = \{ a,b \} $$
位相とは、ある集合に対して「開集合」をどのように選ぶかを決めるルールのことです。そのためには、位相の定義を満たす開集合族をすべて検討する必要があります。
位相の定義。集合 X 上の 位相 とは、X の部分集合族 T であって、次の 3 条件を満たすものをいう。
- T は空集合 ∅ と集合 X 自身を必ず含む。
- T の要素の任意個の和集合は再び T に属する。
- T の要素の有限個の共通部分も再び T に属する。
まず、集合 X={a,b} の部分集合をすべて挙げてみましょう。
$$ P(X) = \{ ∅, \{ a \}, \{ b \}, X \} $$
ここで X は {a,b} そのものを意味します。したがって、集合 X 上の任意の位相 T には、必ず空集合 ∅ と全体集合 X={a,b} が含まれていなければなりません。
この条件を踏まえ、位相の公理を満たす組み合わせをすべて挙げると、次の 4 通りになります。
- 自明位相（最小の位相）：空集合と全体集合のみからなる。 $$ T_1=\{ ∅, \{a,b \} \} $$
- 自明位相に {a} を加えたもの。 $$ T_2=\{ ∅, \{ a \} , \{a,b \} \} $$
- 自明位相に {b} を加えたもの。 $$ T_3=\{ ∅, \{ b \} , \{a,b \} \} $$
- 離散位相（最大の位相）：X のすべての部分集合を開集合とする。 $$ T_4=\{ ∅, \{ a \} , \{ b \} , \{a,b \} \} $$
この 4 つが集合 X 上で考えられるすべての位相です。
自明位相は「最も粗い」構造で、ほとんど制約がありません。一方、離散位相は「最も細かい」構造で、すべての部分集合を開集合とみなします。
したがって、集合 X={a,b} 上にはちょうど 4 種類の位相が存在します。
例 2：3 要素の集合の場合
次に、3 つの元をもつ集合を考えます。
$$ X = \{ a,b,c \} $$
次の部分集合族 T が X 上の位相になっているかを確認してみましょう。
$$ T_3=\{ ∅, \{ a \} , \{ b \} , \{b,c \}, \{a,b,c \} \} $$
まず、T に空集合 ∅ と全体集合 X={a,b,c} が含まれているかを確認します。どちらも含まれているため、この条件はクリアです。
次に、和集合に関して閉じているかを調べます。{a} と {b} の和集合は {a,b} ですが、この集合は T に含まれていません。
$$ \{ a \} \cup \{ b \} = \{a , b\} \ ∉ T $$
したがって、この T は和集合に関して閉じておらず、位相の条件を満たしません。
この時点で位相ではないことが分かるため、共通部分についての検証は不要です。
このように、集合族が位相となるためには、3 つの基本条件すべてを満たす必要があります。たとえ一部が欠けていても、それはもはや位相とは呼べません。
