位相空間における集積点

位相空間 $X$ において、点 $x$ が部分集合 $A \subseteq X$ の集積点であるとは、$x$ の任意の近傍が、$x$ 自身とは異なる $A$ の点を少なくとも一つ含む場合をいう。

つまり、どれだけ小さな範囲で $x$ の周囲を見ても、そこには常に $A$ の点が存在するということである。

より厳密には、点 $x$ が集積点であるとは、$x$ の任意の近傍 $U$ に対して、$(U \setminus \{x\}) \cap A$ が空集合ではないことを意味する。

$$ (U \setminus \{x\}) \cap A \not = \emptyset $$

なお、集積点は必ずしも集合 $A$ 自身に含まれている必要はない。

集積点という概念は、実数空間 $\mathbb{R}$ では比較的直感的に理解しやすい。数直線上では、点 $x$ が集合 $A$ の集積点であるとは、$x$ の任意の近傍、すなわち開区間 $(x-\epsilon, x+\epsilon)$ の中に、$x$ 以外の $A$ の点が含まれていることを意味する。
数直線上における集積点の例
位相空間では、この考え方を $n$ 次元空間 $\mathbb{R}^n$ にまで拡張する。すなわち、点 $x$ の任意の近傍が $x$ 以外の $A$ の点と交わるとき、$x$ は $A$ の集積点となる。ただし、高次元空間では、一次元の場合ほど直感的とは限らない。

具体例
補足

具体例

まず、集合 $A$ を通常位相を備えた $\mathbb{R}$ の部分集合として考える。

$$ A = \left\{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^+ \right\} $$

この集合には、$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots$ が含まれる。

$0$ が $A$ の集積点であるかを調べてみよう。

$0$ の任意の開近傍 $U$ は、必ず $a < 0 < b$ を満たす開区間 $(a,b)$ を含む。

$\frac{1}{n}$ は $n \to \infty$ のとき $0$ に近づいていくため、十分大きな $n$ を取れば、$\frac{1}{n}$ は必ず区間 $(a,b)$ の中に入る。

したがって、$0$ のどの近傍にも、$0$ 以外の $A$ の点が存在する。

よって、$0$ は集合 $A$ の集積点である。

集積点の例

例2

次に、集合 $B$ を考える。

$$ B = \left\{ n + \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^+ \right\} $$

この集合には、$2, 2.5, 3.333\ldots, \ldots$ のような点が含まれる。

ここでは、点 $1$ が集積点かどうかを調べる。

$1$ の任意の開近傍 $U$ は、$a < 1 < b$ を満たす開区間 $(a,b)$ を含む。

しかし、集合 $B$ のすべての点は $1$ より大きい。

そのため、$1$ を中心とした十分小さい開区間を取れば、その中には $B$ の点が存在しなくなる。

したがって、$1$ は集合 $B$ の集積点ではない。

例3

今度は、集合 $(0,1]$ を考える。

$(0,1]$ の集積点を求めてみよう。

定義によれば、点 $x$ が $(0,1]$ の集積点であるとは、$x$ の任意の近傍が、$x$ 自身以外の $(0,1]$ の点と交わることである。

$(0,1]$ の内部の点
任意の $x \in (0,1]$ に対し、その近傍は $a < x < b$ を満たす開区間 $(a,b)$ となる。
$x$ は区間の内部にあるため、どの近傍にも $x$ 以外の $(0,1]$ の点が含まれる。したがって、すべての $x \in (0,1]$ は集積点である。
$(0,1]$ の境界点
次に、点 $0$ と $1$ を考える。

・点 $0$
$0$ の任意の近傍には、十分小さい正の実数が含まれる。これらはすべて $(0,1]$ に属するため、$0$ のどの近傍も $(0,1]$ と交わる。
したがって、$0$ は $(0,1]$ の集積点である。

・点 $1$
$1$ の任意の近傍には、$1$ より少し小さい実数が含まれる。これらは $(0,1]$ に属しているため、$1$ のどの近傍にも $(0,1]$ の点が存在する。
したがって、$1$ も $(0,1]$ の集積点である。
$[0,1]$ の外側の点
最後に、$x \notin [0,1]$ の場合を考える。
$x < 0$ または $x > 1$ であれば、$(0,1]$ とまったく交わらない近傍を取ることができる。
たとえば、$x < 0$ の場合には、十分小さい $\epsilon$ を選ぶことで、区間 $(x-\epsilon, x+\epsilon)$ が $(0,1]$ と交わらないようにできる。同様に、$x > 1$ の場合にも、$(0,1]$ と交わらない近傍を取ることができる。したがって、$[0,1]$ の外側の点は $(0,1]$ の集積点ではない。

以上より、通常位相を備えた位相空間 $\mathbb{R}$ において、集合 $(0,1]$ の集積点全体は閉区間 $[0,1]$ となる。

例4

次に、$ \mathbb{R} $ 上の下限位相における $ A=(0,1] $ の集積点集合を考える。

$ \mathbb{R} $ 上の下限位相は、半開区間 $[a,b)$ を基底として生成される位相である。したがって、この位相の開集合は、それらの半開区間の任意合併として表される。

ここでは、各点について順に確認していく。

点 $x \in (0,1)$
任意の基本近傍 $[x,x+\epsilon)$ は $A$ の点を含むため、$x$ は $A$ の集積点である。
点 $x=1$
下限位相における $1$ の基本近傍は $[1,1+\epsilon)$ の形になる。
この近傍には、$1$ 自身を除けば $A=(0,1]$ の点が存在しない。したがって、$1$ は $A$ の集積点ではない。
点 $x=0$
任意の基本近傍 $[0,0+\epsilon)$ は $A$ の点を含む。したがって、$0$ は $A$ の集積点である。
点 $x < 0$ または $x > 1$
この場合には、$A$ と交わらない基本近傍を取ることができる。したがって、これらの点は $A$ の集積点ではない。

したがって、$ \mathbb{R} $ 上の下限位相における $A=(0,1]$ の集積点集合は $[0,1)$ となる。

補足

最後に、集積点に関する基本的な性質をいくつか紹介する。

集合の閉包は、その集合と集積点集合の和集合に等しい
位相空間 $X$ における部分集合 $A$ の閉包は、$A$ とその集積点集合 $A'$ の和集合として表される。
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
つまり、閉包 $\text{Cl}(A)$ は、集合 $A$ のすべての点と、そのすべての集積点を含む。
点列は集積点に収束する
$ A $ を通常位相を備えた位相空間 $ X=\mathbb{R} $ の部分集合とし、$ x $ を $ A $ の集積点とする。
このとき、$ x $ に収束する点列 $ x_i \in A \setminus \{x\} $ が存在する。
なお、集積点は必ずしも集合 $A$ に属するとは限らない。
極限の一意性
ハウスドルフ空間では、点列が収束する極限は一意に定まる。
しかし、この性質は一般の位相空間では必ずしも成り立つとは限らない。

以下同様。