位相空間論における埋め込み
位相空間論において、埋め込み（embedding）とは、2つの位相空間 \( X \) と \( Y \) の間の連続な単射 \( f: X \rightarrow Y \) であり、\( Y \) から誘導される部分空間位相を備えた像 \( f(X) \) が、\( X \) と同相となる写像をいう。
言い換えれば、埋め込みとは、位相空間 \( X \) の構造を損なうことなく、より大きな位相空間 \( Y \) の中へ「そのまま埋め込む」写像である。
埋め込みであるためには、写像 \( f \) は次の3つの条件を満たさなければならない。
- 写像 \( f \) は連続である。
- 写像 \( f \) は単射であり、\( X \) の異なる2点が \( Y \) の同じ点に写されることはない。
- \( f(X) \) 上で定義される逆写像 \( f^{-1}: f(X) \rightarrow X \) は、部分空間位相に関して連続である。
この3つの条件が満たされると、像 \( f(X) \) は \( Y \) の部分空間でありながら、位相的には \( X \) とまったく同じ構造をもつことになる。
具体例
次の2つの位相空間を考える。
- 空間 \( X \)
集合 \( X=\{a,b,c\} \) に位相 \( \mathcal{T}_X=\{\emptyset,\{a\},\{a,b\},X\} \) を入れる。 - 空間 \( Y \)
集合 \( Y=\{1,2,3,4\} \) に位相 \( \mathcal{T}_Y=\{\emptyset,\{1\},\{1,2\},\{1,2,3\},Y\} \) を入れる。
ここで、写像 \( f:X\rightarrow Y \) を次のように定める。
$$ f(a)=1 \\ f(b)=2 \\ f(c)=3 $$
それでは、この写像が埋め込みであることを確認してみよう。
1. \( f \) は連続である
写像 \( f:X\rightarrow Y \) が連続であるとは、開集合による連続性の定義に従って、\( Y \) のすべての開集合の逆像が \( X \) の開集合になることを意味する。
- \( f^{-1}(\emptyset)=\emptyset\in\mathcal{T}_X \)
- \( f^{-1}(\{1\})=\{a\}\in\mathcal{T}_X \)
- \( f^{-1}(\{1,2\})=\{a,b\}\in\mathcal{T}_X \)
- \( f^{-1}(\{1,2,3\})=X\in\mathcal{T}_X \)
- \( f^{-1}(Y)=X\in\mathcal{T}_X \)
したがって、\( \mathcal{T}_Y \) のすべての開集合の逆像は \( \mathcal{T}_X \) の開集合であるため、\( f \) は連続である。
2. \( f \) は単射である
各元は互いに異なる元へ写される。
$$ f(a)=1 \\ f(b)=2 \\ f(c)=3 $$
したがって、異なる2点が同じ点へ写されることはなく、\( f \) は単射である。
3. 逆写像も連続である
まず、\( f \) の像は
\[ f(X)=\{1,2,3\}\subset Y \]
である。
この集合には、\( Y \) から誘導される部分空間位相を入れる。
補足 部分空間位相とは、元の位相空間の開集合と部分集合との共通部分すべてから定まる位相である。
この例では、
- \( Y=\{1,2,3,4\} \)
- \( \mathcal{T}_Y=\{\emptyset,\{1\},\{1,2\},\{1,2,3\},\{1,2,3,4\}\} \)
- \( f(X)=\{1,2,3\} \)
であるから、各開集合との共通部分を求めると、
- \( \emptyset\cap\{1,2,3\}=\emptyset \)
- \( \{1\}\cap\{1,2,3\}=\{1\} \)
- \( \{1,2\}\cap\{1,2,3\}=\{1,2\} \)
- \( \{1,2,3\}\cap\{1,2,3\}=\{1,2,3\} \)
- \( \{1,2,3,4\}\cap\{1,2,3\}=\{1,2,3\} \)
したがって、部分空間位相は
$$ \mathcal{T}_{f(X)} = \{\emptyset,\{1\},\{1,2\},\{1,2,3\}\} $$
となる。
次に、逆写像
\[ f^{-1}:f(X)\rightarrow X \]
について考える。
\( \mathcal{T}_X \) の各開集合の逆像を調べると、
- \( \emptyset \longmapsto \emptyset \)
- \( \{a\} \longmapsto \{1\} \)
- \( \{a,b\} \longmapsto \{1,2\} \)
- \( X \longmapsto \{1,2,3\} \)
となり、いずれも \( \mathcal{T}_{f(X)} \) の開集合である。
したがって、逆写像 \( f^{-1} \) も連続である。
結論
以上より、写像 \( f \) は埋め込みである。
その理由は、
- 連続であること
- 単射であること
- 像上で定義される逆写像も連続であること
の3条件をすべて満たしているからである。
\( f(X)=\{1,2,3\} \) は \( Y \) 全体ではないものの、その部分空間では \( X \) の位相構造が完全に保存されている。この点が、埋め込みの本質である。
埋め込みと同相写像の違い
埋め込みと同相写像はどちらも位相構造を保存する写像であるが、保存する範囲が異なる。
- 同相写像
同相写像は、\( X \) と \( Y \) の間の全単射であり、2つの空間全体の位相構造を完全に保存する。 - 埋め込み
埋め込みは、\( X \) を \( Y \) の部分空間へ写し、その部分空間の中でのみ \( X \) の位相構造を完全に保存する。
つまり、同相写像では空間全体が互いに対応するのに対し、埋め込みでは \( X \) は \( Y \) の一部分として現れる。それでも、その部分空間だけを見れば、位相的には \( X \) と完全に同じである。
以下同様である。
