部分集合の境界

位相空間 $ X $ における部分集合 $ A \subset X $ の境界とは、 $ A $ の閉包には含まれるが内部には含まれない点の集合である。 \[ \partial A = \text{Cl}(A) \setminus \text{Int}(A) \]

直感的には、境界とは「集合の内側とも外側とも切り離せない点」の集まりである。どれほど小さな近傍をとっても、その中には $ A $ の点と補集合 $ X \setminus A $ の点が必ず現れる。

ここで、$ \text{Cl}(A) $ は $ A $ の閉包を表し、集合そのものに加えて極限点をすべて含む。

一方、$ \text{Int}(A) $ は $ A $ の内部であり、ある開近傍が完全に $ A $ に含まれる点からなる。

集合の境界の概念図

重要なのは、境界が集合のみによって決まるのではなく、背後にある位相に依存するという点である。同じ集合でも、位相が変われば境界は異なる。

別の言い方をすれば、点 $ x \in X $ が $ A $ の境界に属するのは、 $ x $ の任意の近傍が $ A $ と $ X \setminus A $ の双方と交わる場合に限られる。

具体例

標準位相を備えた実数直線 $ \mathbb{R} $ において、開区間 $ A = (0, 1) $ を考える。

この集合の境界を段階的に求める。

1] 閉包

$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$

0 と 1 は区間には含まれないが、区間内の点列の極限として到達可能である。

2] 内部

$$ \text{Int}(A) = (0, 1) $$

開区間の各点は、その周囲に区間内へ収まる開近傍を持つ。

3] 境界

$$ \partial A = [0,1] \setminus (0,1) = \{0,1\} $$

したがって、境界は端点 0 と 1 のみである。

区間 (0,1) の境界の例

点 $ x \in X $ が集合 $ A $ の境界に属するための必要十分条件は、 $ x $ の任意の近傍が $ A $ と $ X \setminus A $ の双方と交わることである。

この定理は、境界を「近傍の振る舞い」によって定義するものである。

$ X = \mathbb{R} $、$ A = (0,1) $ とする。

$$ \partial A = \{0,1\} $$

点 0

任意の開近傍 $ (-\epsilon, \epsilon) $ は区間の内側と外側の両方にまたがる。ゆえに 0 は境界点である。

点 1

同様に、任意の近傍は $ A $ と補集合の双方と交わる。したがって 1 も境界点である。

内部の点 0.5

十分小さい近傍を選べば完全に $ A $ に含まれる。補集合と交わらないため、境界点ではない。

内部点の近傍の例

境界の概念は、解析学、測度論、微分方程式など多くの分野で基本的な役割を果たす。