位相空間における点列の収束
位相空間 \( X \) において、点 \( x \in X \) が点列 \( (x_n) \) の極限であるとは、\( x \) の任意の近傍 \( U \) に対して、ある正整数 \( N \) が存在し、すべての \( n \geq N \) に対して \( x_n \in U \) が成り立つことをいう。
つまり、点列の項は、十分先に進むと、最終的にすべて \( x \) の任意の近傍の中に入ることになる。
この関係は次のように表される。
$$ \lim_{n \to \infty} x_n = x $$
このとき、\( x \) を点列 \( (x_n) \) の極限という。
収束のイメージ
位相空間における収束は、「点列の値がある点に限りなく近づいていく」という考え方を一般化したものである。
実数空間では、これは普段よく使われる極限の概念とほぼ同じ意味になる。しかし位相空間では、距離そのものではなく、「近傍」という概念を使って収束を定義する。
そのため、位相空間の収束は、実解析だけでなく、関数解析や位相幾何学などでも基本となる重要な概念である。
具体例
標準位相を備えた位相空間 \( X = \mathbb{R} \) において、次の点列を考える。
$$ x_n = \left( \frac{1}{n} \right) $$
この点列は
$$ 1,\ 0.5,\ 0.333,\ 0.25,\ \dots $$
のように変化し、項番号 \( n \) が大きくなるにつれて値は徐々に小さくなっていく。
ここでは、この点列が 0 に収束することを示す。
まず、0 の任意の近傍 \( U \) を取る。
\( \mathbb{R} \) の標準位相では、0 の近傍は必ずある開区間 \( (-\epsilon, \epsilon) \) を含む。ただし \( \epsilon > 0 \) である。
したがって、十分大きな \( n \) に対して
$$ \frac{1}{n} \in (-\epsilon, \epsilon) $$
が成り立つことを示せばよい。
\(\epsilon > 0\) を任意に固定し、
$$ N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil $$
と定める。
すると、任意の \( n \geq N \) に対して
$$ n \geq \frac{1}{\epsilon} \implies \frac{1}{n} \leq \epsilon $$
が成り立つ。
したがって、
$$ \left| \frac{1}{n} \right| < \epsilon $$
となり、すべての十分大きな項が近傍 \( (-\epsilon,\epsilon) \) の内部に含まれることが分かる。
以上より、0 の任意の近傍 \( U \) に対して、ある \( N \) が存在し、すべての \( n \geq N \) に対して \( \frac{1}{n} \in U \) が成り立つ。
ゆえに、
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 $$
となる。
つまり、0 は点列 \( \left( \frac{1}{n} \right) \) の極限である。
最初の10項
以下は、この点列の最初の10項である。
$$
\begin{array}{|c|c|}
\hline
n & \frac{1}{n} \\
\hline
1 & 1 \\
2 & 0.5 \\
3 & 0.333 \\
4 & 0.25 \\
5 & 0.2 \\
6 & 0.167 \\
7 & 0.143 \\
8 & 0.125 \\
9 & 0.111 \\
10 & 0.1 \\
\hline
\end{array}
$$
値が徐々に小さくなり、0 に近づいていく様子が確認できる。
たとえば、\( N=5 \) とすると、\( x_5=\frac{1}{5}=0.2 \) であり、すべての \( n>5 \) に対して、その後の項は近傍 \( U=(0,0.2) \) に含まれる。
同じことは、他の任意の \( N \) を選んだ場合にも成立する。
たとえば、\( N=10 \) として \( x_{10}=0.1 \) を考えると、すべての \( n>10 \) に対して、点列は近傍 \( U=(0,0.1) \) の内部に含まれる。
このように、点列 \( \left( \frac{1}{n} \right) \) の項は、番号が大きくなるにつれて 0 に限りなく近づいていく。
したがって、0 はこの点列の極限である。
