距離空間

距離空間とは何か

距離空間とは、集合 \( X \) と、その上で定義された距離関数 \( d \) からなる組 \( (X, d) \) のことである。距離関数 \( d \) は、任意の2点 \( x, y \in X \) に対して非負の実数 \( d(x, y) \) を対応させ、その値は2点間の距離を表す。通常、距離空間は次のように表記される。

$$ (X,d) $$

距離関数は、次の3つの基本的な性質を満たさなければならない。

1. 非負性: 任意の \( x, y \in X \) に対して \( d(x,y)\geq0 \) が成り立つ。また、\( d(x,y)=0 \) となるのは \( x=y \) の場合に限られる。つまり、自分自身との距離は0であり、異なる2点間の距離は必ず正となる。
2. 対称性: 任意の \( x, y \in X \) に対して \( d(x,y)=d(y,x) \) が成り立つ。すなわち、\( x \) から \( y \) までの距離と、\( y \) から \( x \) までの距離は常に等しい。
3. 三角不等式: 任意の \( x, y, z \in X \) に対して \( d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z) \) が成り立つ。つまり、2点を直接結ぶ距離は、第三の点を経由した距離の合計を超えることはない。

距離空間は、集合の中で「距離」を厳密に定義するための基本的な数学的枠組みである。この概念を導入することで、連続性、収束、コンパクト性といった解析学や位相空間論の重要な概念を統一的に扱えるようになる。

簡単に言えば、距離空間とは距離関数 \( d \) が定義された集合 \( X \)のことである。

集合 \( X \) は、単なる点の集まりであっても、ベクトル空間のような高度な数学的構造をもつ集合であっても構わない。

具体例

距離空間の最も代表的な例は、\( \mathbb{R}^n \) 上のユークリッド空間である。\( n=2 \) の場合は平面、\( n=3 \) の場合は三次元空間を表す。

ここでは、デカルト平面 \( \mathbb{R}^2 \) を考えてみよう。

2点 \( p=(p_1,p_2) \)、\( q=(q_1,q_2) \) に対するユークリッド距離は、次の式で定義される。

$$ d(p, q) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2} $$

これは、平面上の2点を結ぶ直線距離、すなわちユークリッド距離を表している。

この距離関数は、距離の3つの公理をすべて満たしている。

1. 非負性: 平方根は常に0以上である。また、\( d(p,q)=0 \) となるのは \( p=q \) の場合に限られる。
2. 対称性: \( (p_1-q_1)^2=(q_1-p_1)^2 \) が成り立つため、\( d(p,q)=d(q,p) \) となる。したがって、点の順序を入れ替えても距離は変わらない。
3. 三角不等式: 2点間の直線距離は、第三の点を経由した距離の和以下になる。この性質は、ピタゴラスの定理をはじめとするユークリッド幾何学の基本定理から導かれる。

このように、ユークリッド距離 \( d \) を備えた空間 \( (\mathbb{R}^2,d) \) は、距離空間の典型的な例である。

距離関数（メトリック）

距離関数とは何か

距離関数（メトリック）とは、次の条件を満たす関数 \( d(x_1,x_2) \) をいう。

\( d(x_1, x_2) \geq 0 \)
\( d(x_1, x_2) = 0 \) となるのは \( x_1 = x_2 \) の場合に限る
\( d(x_1, x_2) = d(x_2, x_1) \)
\( d(x_1, x_2) \leq d(x_1, x_3) + d(x_3, x_2) \)

ここで、\( x_1, x_2, x_3 \in X \) である。

距離の種類

距離関数は一つだけではない。目的や対象に応じて、さまざまな種類の距離が利用される。

ユークリッド距離

$$ d_2(x, y) := \sqrt{ \sum{(x_i - y_i)^2 } } $$

最も広く用いられている距離であり、ユークリッド幾何学の基礎となる。

マンハッタン距離

タクシー幾何学で用いられる代表的な距離である。碁盤目状の道路では建物を斜めに横切ることができず、縦横の道路に沿って移動するため、この都市構造で知られるマンハッタンにちなんで名付けられた。

$$ d_1(x_1, x_2) := \sum{ |x_i - y_i| } $$

離散距離

離散距離では、2点が一致するときだけ距離は0となり、それ以外の場合は常に1となる。

$$ d(x, y) := \begin{cases} 0 \:\:\: if \: x = y \\ 1 \:\:\: if \: x \ne y \end{cases} $$

ノルムが誘導する距離

ノルムが定義されていると、そのノルムから自然に距離を定めることができます。

このようにノルムによって定義される距離を誘導距離といいます。

$$ ||v|| := d(v, 0_V) $$

つまり、ベクトルの長さは、そのベクトルと原点との距離そのものです。

このことから、ベクトル空間にノルムが与えられていれば、その空間は自動的に距離空間にもなります。

注。ただし、その逆は一般には成り立ちません。すべての距離がノルムから得られるわけではありません。

誘導距離の特徴

距離 \(d\) がノルムによって誘導されるためには、次の2つの条件を満たす必要があります。

\( d(v_1 + v_3, v_2 + v_3) = d(v_1, v_2) \)
\( d(k \cdot v_1, k \cdot v_2 ) = |k| \cdot d(v_1, v_2) \)

ここで、\(v_1, v_2, v_3\) はベクトル空間 \(V\) のベクトル、\(k\) は体 \(K\) に属するスカラー（\(k \in K\)）です。

例

実際に、ユークリッドノルムがユークリッド距離を誘導することを確認してみましょう。

ユークリッド空間で、次の3つのベクトルを考えます。

$$ v_1 = (6,8) \\ v_2 = (3,4) \\ v_3 = (3,0) $$

それぞれのノルムは次のようになります。

$$ ||v_1||_2 = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 $$ $$ ||v_2||_2 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 $$ $$ ||v_3||_2 = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 $$

したがって、原点からの誘導距離は次のとおりです。

$$ ||v_1||_2 = d(v_1, 0_v) = 10 $$ $$ ||v_2||_2 = d(v_2, 0_v) = 5 $$ $$ ||v_3||_2 = d(v_3, 0_v) = 3 $$

定義によれば、$$ ||v|| = d(v,0_v) $$ が成立するには、次の2つの条件が成り立つことを確認すれば十分です。
1] \( d(v_1 + v_3, v_2 + v_3) = d(v_1, v_2) \)
2] \( d(k \cdot v_1, k \cdot v_2) = |k|\,d(v_1, v_2) \)

それでは、順番に確認していきます。

第1条件

$$ d(v_1 + v_3, v_2 + v_3) = d(v_1, v_2) $$ $$ d(10 + 3, 5 + 3) = d(10, 5) $$ $$ d(13, 8) = d(10, 5) $$

まず、左辺を計算します。

$$ d(13, 8) = \sqrt{(13 - 8)^2} = \sqrt{5^2} = \sqrt{25} = 5 $$

次に、右辺を計算します。

$$ d(10, 5) = \sqrt{(10 - 5)^2} = \sqrt{5^2} = \sqrt{25} = 5 $$

両者は一致するため、

$$ d(13, 8) = d(10, 5) = 5 $$

第1条件が満たされることが分かります。

第2条件

$$ d(k \cdot v_1, k \cdot v_2) = |k| \cdot d(v_1, v_2) $$ $$ d(k \cdot 10, k \cdot 5) = |k| \cdot d(10, 5) $$

ここでは \(k = 2\) とします。

$$ d(2 \cdot 10, 2 \cdot 5) = |2| \cdot d(10, 5) $$ $$ d(20, 10) = |2| \cdot d(10, 5) $$

左辺は、

$$ d(20, 10) = \sqrt{(20 - 10)^2} = \sqrt{10^2} = 10 $$

一方、右辺は、

$$ |2| \cdot d(10, 5) = 2 \cdot \sqrt{(10 - 5)^2} = 2 \cdot 5 = 10 $$

したがって、

$$ d(k \cdot 10, k \cdot 5) = |k| \cdot d(10, 5) = 10 \:\:\: \text{with } k = 2 $$

こちらも条件を満たしています。

以上より、ユークリッド空間における距離は、ユークリッドノルムから自然に誘導されることが確認できました。

補足

距離空間には、誘導距離以外にも重要な概念が数多くあります。代表的なものを紹介します。

• 距離空間における有界集合
  距離空間 \((X,d)\) において、部分集合 \(A \subseteq X\) が有界であるとは、ある正の実数 \(\mu>0\) と点 \(x_0 \in X\) が存在し、 $$ d(x,x_0)\leq\mu \quad \text{for all } x\in A $$ が成り立つことをいいます。言い換えれば、集合 \(A\) 全体を、有限の半径をもつ1つの球の中に収めることができるということです。

  距離から誘導される位相では、有界性は集合が開集合であるか閉集合であるかとは関係ありません。有界性は、集合内の点どうしの距離だけによって決まります。

• 有界距離
  距離空間 \((X,d)\) において、空間全体 \(X\) が有界集合である場合、その距離 \(d\) は有界距離と呼ばれます。
• 距離が誘導する位相の基底定理
  距離空間 \((X,d)\) では、すべての開球からなる集合 $$ \mathcal{B}=\{B_d(x,\varepsilon)\mid x\in X,\varepsilon>0\} $$ は、\(X\) 上の位相の基底となります。
• 距離空間における連続写像の定理
  2つの距離空間 \((X,d_X)\)、\((Y,d_Y)\) の間の写像 \(f:X\to Y\) は、任意の点 \(x\in X\) と任意の \(\varepsilon>0\) に対して、ある \(\delta>0\) が存在し、 $$ d_X(x,x')<\delta $$ ならば、 $$ d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon $$ が成り立つとき、連続であるといいます。
• 距離空間はハウスドルフ空間である
  すべての距離空間はハウスドルフ空間です。一方、ハウスドルフ空間でない位相空間は、いかなる距離からも誘導することはできません。

  注。ハウスドルフ空間とは、互いに異なる任意の2点を、それぞれ交わらない開近傍によって分離できる位相空間をいいます。

これらの概念は、距離空間論や位相空間論を学ぶうえで欠かせない基本事項です。