連続性定理と収束列

関数 $ f: X \to Y $ が連続であり、$ X $ の点列 $ x_1, x_2, \dots $ が点 $ x $ に収束するとき、その像の列 $ f(x_1), f(x_2), \dots $ は $ Y $ において $ f(x) $ に収束します。

つまり、連続関数は列の収束を保つということです。

言い換えれば、点列 $ x_n $ が点 $ x $ に近づいていけば、それに対応する関数値 $ f(x_n) $ も自然に $ f(x) $ に近づいていきます。

具体例

関数 $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ を $ f(x)=2x $ とし、数列 $ x_n=\frac{1}{n} $（$ n\in\mathbb{N} $）を考えます。

この数列 $ (x_n) $ は、$ n\to\infty $ のとき $ 0 $ に収束します。

実際、各項は $ x_1=1 $、$ x_2=\frac{1}{2} $、$ x_3=\frac{1}{3} $、… と続き、$ n $ が大きくなるほど $ 0 $ に近づいていきます。

では、この数列の各項に関数 $ f $ を適用してみましょう。

$$ f(x_1)=f(1)=2 $$

$$ f(x_2)=f\left(\frac{1}{2}\right)=1 $$

$$ f(x_3)=f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3} $$

$$ ... $$

このとき得られる列 $ f(x_n)=2x_n $ は、$ 2,1,\frac{2}{3},\dots $ となり、やはり $ 0 $ に収束します。

したがって、列 $ (f(x_n)) $ は $ f(0)=0 $ に収束します。これは連続性定理の主張どおりです。

この例から、連続関数が列の収束を保つことを直感的に理解できます。

次に、列 $ (f(x_n)) $ が確かに $ f(x) $ に収束することを証明します。

証明では、関数 $ f $ が連続であるという仮定を用います。

連続性とは、$ Y $ の任意の開集合の逆像が $ X $ においても開集合になることを意味します。

この性質を利用して、$ f(x) $ の任意の近傍 $ U $ に対し、十分大きな $ n $ では $ f(x_n) $ が必ず $ U $ に含まれることを示します。

ステップ1：$ f(x) $ の近傍をとる

$ Y $ における $ f(x) $ の任意の近傍 $ U $ を考えます。

ここで、$ U $ は $ f(x) $ を含む開集合です。

目標は、十分大きな $ n $ に対して、列 $ f(x_n) $ の各項がすべて $ U $ に含まれることを示すことです。

ステップ2：逆像を考える

$ f $ は連続なので、$ U $ の逆像 $ f^{-1}(U) $ は $ X $ の開集合になります。

逆像の定義より、点が $ f^{-1}(U) $ に属することと、その像が $ U $ に属することは同値です。

また、$ f(x)\in U $ であるため、$ x\in f^{-1}(U) $ が成り立ちます。

ステップ3：列の収束性を利用する

仮定より、列 $ (x_n) $ は $ x $ に収束します。

したがって、$ x $ の任意の近傍に対して、ある自然数 $ N $ が存在し、すべての $ n\geq N $ に対して $ x_n $ はその近傍に含まれます。

$ f^{-1}(U) $ は $ x $ の開近傍なので、この収束の定義をそのまま適用できます。

ステップ4：自然数 $ N $ の存在

以上より、ある自然数 $ N $ が存在し、すべての $ n\geq N $ に対して $ x_n\in f^{-1}(U) $ が成り立ちます。

したがって、逆像の定義から、すべての $ n\geq N $ に対して $ f(x_n)\in U $ となります。

結論

$ f(x) $ の任意の近傍 $ U $ に対して、十分大きな $ n $ では $ f(x_n) $ が常に $ U $ に含まれます。

これは、列 $ (f(x_n)) $ が $ f(x) $ に収束することを意味します。

以上より、連続関数は列の収束を保つことが示されました。すなわち、$ (x_n) $ が $ x $ に収束すれば、対応する像の列 $ (f(x_n)) $ は $ f(x) $ に収束します。

以下同様です。