位相空間における包含写像の連続性

$ X $ を位相空間、$ Y $ を $ X $ の部分集合とする。このとき、包含写像 $ f : Y \to X $ は、任意の $ y \in Y $ に対して $ f(y)=y $ と定められる。この写像は連続である。

包含写像は、位相空間論で頻繁に登場する基本的な写像の一つである。

その役割は非常に単純で、部分集合 $ Y $ の各点を、それを含む空間 $ X $ の中の同じ点として扱うだけである。

言い換えれば、包含写像 $ f $ は $ Y $ の各元を変更することなく、そのまま $ X $ へ対応させる。

見た目には何もしていないように思えるが、この写像が連続であることは部分空間位相の重要な性質の一つである。

注: 包含写像は恒等写像と混同されることがあるが、両者は異なる。包含写像は部分集合からそれを含む空間への写像であり、恒等写像は一つの空間の中で各元を自分自身へ写す写像である。

位相空間論では、写像 $ f $ が連続であるとは、終域 $ X $ の任意の開集合 $ U $ に対して、その逆像 $ f^{-1}(U) $ が始域 $ Y $ において開集合になることを意味する。

ここで重要なのが部分空間位相の定義である。

部分空間位相では、$ Y $ の開集合は、$ X $ の開集合と $ Y $ との共通部分として与えられる。

包含写像の場合、$ X $ の開集合 $ U $ の逆像は次のようになる。

$$ f^{-1}(U) = U \cap Y $$

つまり、逆像は常に $ X $ の開集合と $ Y $ との共通部分になる。

そして、部分空間位相の定義によれば、このような集合は必ず $ Y $ において開集合である。

したがって、包含写像 $ f $ は連続である。

注: この結果は偶然ではない。部分空間位相は、包含写像が自然に連続となるように定義されている。

具体例

具体例として、位相空間 $ X=\mathbb{R} $（実数直線）と、その部分集合である開区間 $ Y=(0,1) $ を考えよう。

包含写像 $ f:Y \to X $ は、すべての $ y \in Y $ に対して $ f(y)=y $ と定義される。

$$ f(y) = y \ \ \ \text{for all} \ \ y \in (0,1) $$

この写像は、区間 $ (0,1) $ の各点を、実数直線 $ \mathbb{R} $ の中の同じ点として見るだけである。

次に、$ X $ の開集合として

$$ U = (-1,0.5) $$

を取る。

包含写像の例

このとき、$ U $ と $ Y=(0,1) $ の共通部分は次のようになる。

$$ U \cap Y = (-1,0.5)\cap(0,1)=(0,0.5) $$

得られた集合 $ (0,0.5) $ は、$ Y=(0,1) $ の内部にある開区間である。

したがって、$ U \cap Y $ は $ Y $ 上の部分空間位相において開集合となる。

実際、どのような開集合 $ U $ を選んでも、逆像 $ f^{-1}(U)=U \cap Y $ は必ず $ Y $ の開集合になる。

このことから、包含写像 $ f:Y \to X $ は連続であることが分かる。

包含写像の連続性は、部分空間位相を理解するうえで最も基本的な性質の一つであり、多くの定理や構成の出発点となる。