除外点位相とは何か

除外点位相（excluded point topology）は、集合 X の中から特定の 1 点 p を除外することで定義される特別な位相構造である。

この位相を構成する X の部分集合族は次のようになる。

つまり、除外点位相における開集合とは、X 全体、空集合、または除外された点 p を含まない部分集合のいずれかである。

この定義は、開集合系としての位相が満たすべき三つの基本条件をすべて満たしている。そのため、確かに位相を構成しているといえる。

補足．この位相の特徴は、特定の点を意図的に除外するという単純な発想にありながら、直感に反する興味深い性質を示す点にある。

例で考えてみよう

3 つの要素からなる集合 X を考える。

$$ X = \{a, b, c\}$$

除外する点を $p = a$ とする。

点 p を除外して X 上に除外点位相を定義するには、次の集合を含めればよい。

したがって、このときの除外点位相 T は次のように表される。

$$ T = \{\emptyset, \{a, b, c\}, \{b\}, \{c\}, \{b, c\}\} $$

この集合族 $T$ は位相の条件を満たしている。

任意の集合族の和集合は T に含まれる。
例：$\{b\} \cup \{c\} = \{b, c\}$、$\{b\} \cup \emptyset = \{b\}$ はどちらも T の要素である。
任意の 2 集合の共通部分も T に含まれる。
例：$\{b\} \cap \{c\} = \emptyset$、$\{b, c\} \cap \{b\} = \{b\}$ はいずれも T の要素である。
空集合 $\emptyset$ と集合 X 自身の両方が T に含まれている。

このように、特定の点（この場合は「a」）を除外するだけで、集合 X の中に異なる開集合の構造を作り出すことができる。除外点位相は一見単純に見えるが、位相空間論の基本概念を理解するうえで非常に有用な例である。

例えば、この位相では点 p が「特別な振る舞い」を示し、他の点と異なる性質を持つことが確認できる。こうした性質は、連続写像や閉集合の扱いを考える際に重要な示唆を与える。

除外点位相は、位相空間論を学ぶ際の典型的な入門例であり、単純な構成から多様な位相的現象を観察できる貴重な教材といえる。