右半開区間位相（Lower Limit Topology）

右半開区間位相とは、実数全体 \( R \) 上に定義される位相の一種で、開集合を左閉右開区間 [a, b)（a < b）の任意の合併として考えるものである。

つまり、この位相では、区間が開集合であるためには下端点を含み、上端点を含まないことが条件となる。

この位相の基底（base）は次のように表される。

$$ B = \{ [a,b) ⊂ R \ | \ a \lt b \} $$

この基底を構成するそれぞれの区間は、下端点を含むという特徴をもっている。

注: 右半開区間位相は、実数集合 \( R \) 上に定義される特別な位相であり、通常の実数直線の標準位相とは異なる。標準位相では、開集合は (a, b) の形をした開区間であり、両端点を含まない。

右半開区間位相は、位相空間論を学ぶ際によく登場する例であり、位相の取り方によって「開集合」という概念そのものがどのように変化するかを理解するための格好の題材である。

この位相では、左閉右開区間 [a,b) が開集合として扱われる。

具体例

右半開区間位相をより具体的に理解するために、実数集合 \( R \) において左閉右開区間を開集合とする場合を考えてみよう。

たとえば、[0,2)、[1,4)、[-4,2) のような部分集合がこれにあたる。

これらすべての左閉右開区間の集合が、右半開区間位相の基底を構成している。

このように、実数集合 \( R \) に右半開区間位相（lower limit topology）を導入することで、標準位相とは異なる「開集合」の概念を直感的に理解することができる。