商位相における開集合族の合併

商位相 $ Q $ における開集合族 $ \{U_i\} $ を考える。このとき、それらの合併の逆像は各開集合の逆像の合併に一致する。

すなわち、

$$ p^{-1}( \bigcup U_i ) = \bigcup p^{-1}(U_i) $$

が成り立つ。各 $ p^{-1}(U_i) $ は元の位相空間 $ X $ における開集合であり、開集合の任意の合併は再び開集合である。したがって、開集合族の合併も商位相 $ Q $ において開集合となる。

具体例

この性質を具体例で確認してみよう。

実数全体の集合 $ \mathbb{R} $ に対して、写像 $ p:\mathbb{R}\to\mathbb{R}/\mathbb{Z} $ を考える。この写像は、各実数 $ x $ を 1 を法とする同値類へ対応させるものである。

直感的には、実数をその小数部分に写す写像と考えればよい。例えば、0.3、1.3、2.3、3.3 はすべて同じ点に対応し、その像は 0.3 となる。

商位相の例

このようにして得られる商空間 $ Q=\mathbb{R}/\mathbb{Z} $ は、区間 [0,1) の両端を貼り合わせてできる円周とみなすことができる。

では、この商空間の中で次の 2 つの開集合を考えよう。

どちらも商空間 $ Q $ における開集合である。

まず、それぞれの逆像を求める。

$ U_1 $ の逆像は、対応するすべての開区間の合併となる。 \[ p^{-1}(U_1)=(0.1,0.4)\cup(1.1,1.4)\cup(2.1,2.4)\cup\dots \]
$ U_2 $ の逆像も同様に、対応する開区間をすべて集めた合併として表される。 \[ p^{-1}(U_2)=(0.6,0.8)\cup(1.6,1.8)\cup(2.6,2.8)\cup\dots \]

次に、商空間におけるこれら 2 つの開集合の合併を考える。

$$ U_1 \cup U_2=(0.1,0.4)\cup(0.6,0.8) $$

合併の逆像は、各集合の逆像の合併に一致するので、

$$ p^{-1}(U_1\cup U_2)=p^{-1}(U_1)\cup p^{-1}(U_2) $$

となる。

実際に書き下すと、

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2)=(0.1,0.4)\cup(0.6,0.8)\cup(1.1,1.4)\cup(1.6,1.8)\cup\dots $$

を得る。

ここで重要なのは、この逆像が $ \mathbb{R} $ における開区間の合併になっていることである。したがって、この集合は $ \mathbb{R} $ の通常の位相において開集合である。

逆像が開集合であることから、$ U_1 \cup U_2 $ は商空間 $ A=\mathbb{R}/\mathbb{Z} $ の商位相においても開集合であることが分かる。

この議論は 2 つの開集合の場合だけでなく、任意個の開集合からなる開集合族についてもそのまま成り立つ。したがって、商位相では開集合の任意の合併が再び開集合となる。