直積集合の内部
位相空間 \(X\) と \(Y\) の部分集合 \(A\)、\(B\) に対して、直積集合 \(A \times B\) の内部は、それぞれの内部の直積に一致します。つまり、次の関係が成り立ちます。 $$ \text{Int}(A \times B) = \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$
これは積位相における基本的な性質の一つです。直積集合の内部を求めたい場合は、まず各集合の内部を求め、その後で直積を取ればよいことを意味しています。
一見すると当たり前に見えるかもしれませんが、この性質は積位相の構造を理解するうえで重要な役割を果たします。
具体例
位相空間 \(X = \mathbb{R}\)、\(Y = \mathbb{R}\) を考え、その部分集合として
$$ A = (0,2), \qquad B = (1,3) $$
を取ります。
\(A\) と \(B\) はどちらも実数直線 \(\mathbb{R}\) 上の開区間です。
まず、それぞれの集合の内部を求めてみましょう。
\(A\) はすでに開集合なので、その内部は \(A\) 自身です。
$$ \text{Int}(A) = (0,2) $$
同様に、\(B\) の内部も \(B\) 自身になります。
$$ \text{Int}(B) = (1,3) $$
次に、各集合の内部の直積 を考えます。
$$ \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) = (0,2) \times (1,3) $$
これは、\(x \in (0,2)\) かつ \(y \in (1,3)\) を満たすすべての点 \((x,y)\) の集合です。
$$ \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) = \{(x, y) \mid x \in (0, 2) \text{ and } y \in (1, 3)\} $$
幾何学的には、\(\mathbb{R}^2\) 上の開長方形を表しています。
では、直積集合そのもの
$$ A \times B = (0,2) \times (1,3) $$
の内部を考えてみます。
この場合も得られるのは同じ開長方形です。
したがって、直積集合の内部は各集合の内部の直積と一致します。
$$ \text{Int}(A \times B) = (0,2) \times (1,3) = \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$
この例から、定理の内容を具体的に確認できます。
証明
この定理は、二つの包含関係を示すことで証明できます。
1] 直積集合の内部は内部の直積を含む
まず、次を示します。
$$ \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) \subseteq \text{Int}(A \times B) $$
\(x \in \text{Int}(A)\)、\(y \in \text{Int}(B)\) とします。
内部の定義から、\(X\) の開集合 \(U\)、\(Y\) の開集合 \(V\) が存在して
\(x \in U \subseteq A\)
および
\(y \in V \subseteq B\)
を満たします。
すると、\(U \times V\) は積位相空間 \(X \times Y\) の開集合であり、\((x,y)\) を含みます。
さらに、
\(U \times V \subseteq A \times B\)
が成り立つため、\((x,y)\) は \(A \times B\) の内部に属します。
したがって、
$$ \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) \subseteq \text{Int}(A \times B) $$
が得られます。
2] 内部の直積は直積集合の内部を含む
次に、逆向きの包含関係
$$ \text{Int}(A \times B) \subseteq \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$
を示します。
\((x,y)\) を \(\text{Int}(A \times B)\) の任意の点とします。
すると、定義より \(X \times Y\) の開集合 \(W\) が存在して
\((x,y) \in W \subseteq A \times B\)
を満たします。
積位相の基底の性質から、開集合 \(U \subseteq X\)、\(V \subseteq Y\) が存在し、
\((x,y) \in U \times V \subseteq W\)
となります。
さらに、
\(U \times V \subseteq A \times B\)
であることから、
\(U \subseteq A\)、\(V \subseteq B\)
が従います。
よって、
\(x \in U \subseteq A\)
および
\(y \in V \subseteq B\)
が成り立つため、\(x\) は \(A\) の内部に属し、\(y\) は \(B\) の内部に属します。
したがって、
\((x,y) \in \text{Int}(A) \times \text{Int}(B)\)
となり、
$$ \text{Int}(A \times B) \subseteq \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$
が示されます。
3] 結論
以上により、
$$ \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) \subseteq \text{Int}(A \times B) $$
および
$$ \text{Int}(A \times B) \subseteq \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$
の両方が成立することが分かりました。
したがって、
$$ \text{Int}(A \times B) = \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$
が成り立ちます。
つまり、直積集合の内部は、それぞれの集合の内部を求めてから直積を取ることで得られるのです。
これで定理の証明は完了です。
