積空間に対する部分空間定理

位相空間 $X$、$Y$ の部分集合 $A$、$B$ をそれぞれ $$ A \subset X $$ $$ B \subset Y $$ とする。このとき、$A \times B$ を積空間 $X \times Y$ の部分空間として考えて得られる位相は、$A$ と $B$ にそれぞれ誘導される部分空間位相を用いて構成した積位相と一致する。すなわち、 $$ \quad \tau_{A \times B}^{\mathrm{sub}} = \tau_A^{\mathrm{sub}} \times \tau_B^{\mathrm{sub}} $$

ここで、$\tau_{A \times B}^{\mathrm{sub}}$ は、積空間 $X \times Y$ から誘導される $A \times B$ 上の部分空間位相を表している。

また、$\tau_A^{\mathrm{sub}}$ と $\tau_B^{\mathrm{sub}}$ は、それぞれ $X$、$Y$ から誘導される $A$、$B$ 上の部分空間位相である。

この定理の重要な点は、$A \times B$ 上の位相を定義する方法が二通りあっても、最終的には同じ位相構造に到達するということである。

つまり、

まず大きな空間 $X \times Y$ を考えてから、その部分集合として $A \times B$ に位相を制限する方法
$A$ と $B$ に誘導される位相を最初から用いて、直接 $A \times B$ の積位相を作る方法

この二つの方法は、結果として完全に同じ位相を与える。

したがって、どちらの立場から考えても、$A \times B$ の位相構造は変わらない。

具体例

具体例を通して、この定理の意味を確認してみよう。

位相空間 $X$ と $Y$ を考える。たとえばデカルト平面をイメージすれば、$X$ を $x$ 軸、$Y$ を $y$ 軸として理解できる。

ここで、それぞれの部分集合として

$$ A = [1,2] \subset X $$

$$ B = [3,4] \subset Y $$

を取る。

このとき、直積集合 $A \times B$ は、

$$ (x,y) \quad (x \in A,\ y \in B) $$

を満たすすべての点からなる集合である。

幾何学的には、これは平面上の長方形に対応する。 $x$ 座標は 1 から 2 の範囲を動き、$y$ 座標は 3 から 4 の範囲を動く。

部分空間

ここで、$A \times B$ に対して二種類の位相を考えることができる。

部分空間位相
$A \times B$ を、平面全体を表す積空間 $X \times Y$ の部分空間として考える方法である。この場合、まず $X \times Y$ の位相を考え、それを $A \times B$ に制限して位相を定める。
積位相
もう一つの方法は、$A$ と $B$ に誘導された部分空間位相を用いて、最初から $A \times B$ 上に積位相を構成する方法である。

この定理によれば、これら二つの位相は一致する。

つまり、どちらの方法を用いても、$A \times B$ 上には同じ位相構造が得られることになる。

この性質は、積空間と部分空間の関係を理解するうえで非常に重要であり、位相空間論の多くの議論の基礎となっている。