몫위상

위상공간 $X$와, $X$의 부분집합일 필요가 없는 집합 $A$가 있다고 하자. 또한 전사사상 $p: X \rightarrow A$가 주어져 있다고 가정하자. 이때 $A$의 부분집합 $U$가 열린집합이 되는 필요충분조건은 그 원상 $p^{-1}(U)$가 $X$에서 열린집합인 것이다.

즉, $A$ 위에 정의된 몫위상(quotient topology)에서는 집합 $U$가 열린집합인지 여부를 직접 판단하지 않는다. 대신 $U$의 원상 $p^{-1}(U)$가 원래 공간 $X$에서 열린집합인지 확인한다. 원상이 열려 있으면 $U$도 열린집합으로 간주한다.

몫위상

몫위상은 사상 $p$를 이용하여 기존 위상공간 $X$로부터 새로운 공간 $A$를 만드는 과정에서 자연스럽게 등장하는 위상이다.

여기서 $A$를 몫공간(quotient space), $p$를 몫사상(quotient map)이라고 부른다.

따라서 몫위상은 흔히 "사상 $p$에 의해 유도된 위상"이라고 설명된다.

핵심 아이디어는 간단하다. 원래 공간에서 열린집합으로 보이는 것이 새로운 공간에서도 열린집합으로 인식되도록 위상을 정의하는 것이다.

다만 다음 두 사실은 구별해 두어야 한다.

몫공간의 열린집합의 원상은 항상 원래 공간에서 열린집합이다.
반대로 원래 공간의 열린집합의 상(image)이 몫공간에서도 반드시 열린집합이 되는 것은 아니다.

이는 몫사상이 여러 점을 하나의 점으로 식별할 수 있기 때문이다. 이러한 점의 식별 과정은 공간의 위상적 구조를 변화시키며, 몫위상이 흥미로운 이유도 바로 여기에 있다.

요약하면, 몫공간은 특정한 동치관계에 따라 점들을 서로 동일시하여 만들어지는 새로운 위상공간이다.

좀 더 직관적으로 말하면, 공간 안의 여러 점을 일정한 규칙에 따라 하나로 합치거나 서로 붙인 뒤, 그렇게 만들어진 새로운 공간의 성질을 연구하는 것이 몫공간 이론의 출발점이다.

왜 몫위상이 중요한가? 몫위상은 복잡한 공간을 처음부터 직접 분석하는 대신, 더 단순한 공간을 출발점으로 삼아 새로운 공간의 구조를 연구할 수 있게 해 준다. 따라서 위상수학뿐 아니라 기하학, 다양체 이론, 대수위상수학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

직관적으로 이해하기
예제
몫위상의 기본 성질

직관적으로 이해하기

몫위상은 처음에는 추상적으로 보일 수 있지만, 실제로는 매우 직관적인 아이디어에 기반한다.

한마디로 말하면, 도형의 일부를 서로 붙여 새로운 도형을 만드는 과정을 수학적으로 표현한 것이 몫위상이다.

예를 들어 정사각형 모양의 종이 한 장이 있다고 생각해 보자. 서로 마주 보는 두 변을 붙이면 원기둥을 만들 수 있다.

종이를 서로 붙이는 과정

이제 원기둥의 양쪽 원형 경계까지 서로 붙이면 도넛 모양의 토러스(torus)가 만들어진다.

토러스의 예

즉, 정사각형은 먼저 원기둥으로 변하고, 이어서 토러스로 변형된다. 이 과정에서 새로운 점이 생기는 것은 아니다. 단지 기존의 점들을 특정한 규칙에 따라 서로 동일시할 뿐이다.

몫위상은 바로 이러한 "붙이기" 과정을 수학적으로 엄밀하게 다루기 위해 도입된 개념이다.

이 때문에 몫위상은 원, 구면, 토러스와 같은 다양한 위상공간을 구성하고 연구하는 데 매우 유용하게 사용된다.

예제

이제 몫위상의 대표적인 예를 살펴보자.

보통위상(usual topology)을 갖는 위상공간 $X=[0,1]$을 생각하자. 여기서 열린집합은 열린구간 또는 열린구간들의 합집합으로 이루어진다.

예를 들어 다음 집합들은 모두 $X$에서 열린집합이다.

공집합 $\emptyset$
전체집합 $X$
열린구간 $(a,b)$, 단 $0 \leq a < b \leq 1$

직관적으로 $X$는 양 끝점이 $0$과 $1$인 선분이라고 생각할 수 있다.

선분 [0,1]의 예

이제 선분의 양 끝점 $0$과 $1$을 서로 같은 점으로 취급해 보자.

이를 위해 다음과 같은 사상 $p:[0,1]\rightarrow A$를 정의한다.

$$ p(x) = \begin{cases} p(0) & \text{if } x = 0 \text{ or } x = 1 \\ \\ x & \text{if } 0 < x < 1 \end{cases} $$

이 사상은 점 $0$과 점 $1$을 하나의 점으로 보내고, 나머지 점들은 그대로 대응시킨다.

그 결과 얻어지는 몫공간 $A$는 원으로 생각할 수 있다.

몫위상의 예

쉽게 말해 선분을 휘어 양 끝을 연결하면 원이 된다. 몫공간은 바로 이 과정을 위상수학적으로 표현한 것이다.

새로운 공간 $A$에서 $P=\{0,1\}$는 원래 공간의 두 점 $0$과 $1$이 하나로 합쳐진 점에 해당한다.

이제 $A$ 위에 위상을 정의해야 한다. 몫위상의 정의에 따르면, 집합 $U \subseteq A$가 열린집합인지 여부는 $p^{-1}(U)$가 $[0,1]$에서 열린집합인지 확인함으로써 결정된다.

이를 두 가지 경우로 나누어 살펴볼 수 있다.

$P$를 포함하지 않는 열린호 $U$
이 경우 $U$의 원상은 $[0,1]$ 안의 하나의 열린구간이 된다. 원상이 열린집합이므로 $U$도 열린집합이다.
$P=\{0,1\}$를 포함하는 열린호 $U$
이 경우 $U$의 원상은 $[0,1]$의 양 끝 부근에 위치한 두 열린구간의 합집합으로 나타난다. 이 역시 열린집합이므로 $U$는 $A$에서 열린집합이 된다.

결국 몫위상을 통해 우리는 단순한 선분 $[0,1]$으로부터 원이라는 새로운 위상공간을 얻을 수 있다.

이 예는 몫위상의 핵심 아이디어를 보여 주는 가장 고전적인 사례 중 하나이다. 점들을 서로 동일시하는 것만으로도 전혀 다른 형태의 공간을 만들 수 있으며, 몫위상은 이러한 과정을 엄밀하게 기술하는 강력한 도구이다.

예제 2

지금까지는 선분의 양 끝점을 서로 붙여 원을 만드는 몫공간을 살펴보았다. 이번에는 한 걸음 더 나아가, 실수직선 전체를 원으로 감아 올리는 방법을 알아보자.

먼저 실수집합 $ \mathbb{R} $을 생각하자. 실수직선은 양의 방향과 음의 방향으로 끝없이 뻗어 있는 공간이다.

이제 이 무한한 직선을 원 위에 감아 올리기 위해, 각 실수를 자신의 소수 부분(fractional part)과 동일시한다.

이를 나타내는 사상은 다음과 같다.

$$ p(x)=x \mod 1 $$

이 사상은 실수 $x$에서 정수 부분을 제거하고 소수 부분만 남긴다. 따라서 정수만큼 차이가 나는 모든 실수는 동일한 점으로 대응된다.

예를 들어 $1.3$의 소수 부분은 0.3이므로 원 위의 한 점에 대응된다. 또한 $2.3$, $3.3$, $4.3$ 역시 모두 같은 소수 부분을 가지므로 동일한 점에 대응된다.
실수직선을 원으로 감는 예

결국 원 위의 한 점은 실수직선 위에 있는 무수히 많은 점들을 대표하게 된다.

이러한 이유로 우리는 흔히 "실수직선을 원 위에 감아 올린다"라고 표현한다. 위상수학적으로는 정수만큼 차이 나는 모든 실수들을 하나의 동치류로 묶는 과정이라고 이해할 수 있다.

이제 몇 가지 열린구간을 통해 몫위상이 어떻게 작동하는지 살펴보자.

$ \mathbb{R} $ 위의 구간 $(0,1)$
구간 $(0,1)$은 원 위에서 기준점 하나를 제외한 열린호(open arc)에 대응된다. 원상은 그대로 $(0,1)$이며, 이는 $\mathbb{R}$에서 열린집합이다. 따라서 대응되는 열린호 역시 몫위상에서 열린집합이 된다.
$ \mathbb{R} $ 위의 구간 $(1,2)$
구간 $(1,2)$도 원 위에서는 동일한 열린호로 대응된다. 실제로 1과 2는 모두 원 위의 같은 기준점에 대응되므로, $(1,2)$의 상은 $(0,1)$의 상과 완전히 일치한다. 따라서 새로운 위상적 구조는 나타나지 않는다.
$ \mathbb{R} $ 위의 구간 $(0,2)$
구간 $(0,2)$는 길이가 2인 열린구간이다. 이를 원 위로 보내면 원을 두 번 감싸게 되며, 결과적으로 원 전체를 덮는다. 따라서 이 구간의 상은 원 전체가 된다. 위상공간의 전체집합은 항상 열린집합이며 동시에 닫힌집합이므로, 원 전체는 클로펜(clopen) 집합이다.

주의: 이 예는 원래 공간의 열린집합이 몫공간에서 반드시 열린집합으로 대응되는 것은 아니라는 사실을 보여 준다.

반면 몫공간의 열린집합에 대해 원상을 취하면 언제나 원래 공간의 열린집합이 된다.

예를 들어 원 위의 열린호를 실수직선으로 끌어올리면, 그 결과는 열린구간들의 합집합으로 나타난다.

그러나 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 원래 공간의 열린집합의 상이 몫공간에서도 열린집합이 된다고 보장할 수는 없다.

핵심 요점

몫위상에서 중요한 것은 상(image)이 아니라 원상(preimage)이다. 몫사상은 열린집합의 원상에 대해서는 개방성을 보존하지만, 열린집합의 상에 대해서는 일반적으로 그러한 성질을 보장하지 않는다.

이러한 차이는 몫사상이 여러 점을 하나의 점으로 식별하면서 공간의 구조를 변화시키기 때문에 발생한다.

예제 3

이번에는 유한한 정수 집합에서 몫공간을 구성하는 예를 살펴보자.

연속된 정수들의 집합 $ \{m,m+1,\ldots,n\} \subset \mathbb{Z} $이 있다고 하자. 여기서 첫 번째 원소와 마지막 원소를 서로 동일시해 보자.

예를 들어 다음과 같은 집합을 생각할 수 있다.

$$ I_7 = \{1,2,3,4,5,6,7\} $$

이 집합은 연속된 정수들로 이루어져 있으므로 디지털 구간(digital interval)이라고 부른다.

이제 첫 번째 점인 1과 마지막 점인 7을 하나의 점으로 식별하자. 이는 선분의 양 끝점을 연결하여 고리 모양의 구조를 만드는 것과 같다.

디지털 원의 예

이 과정을 통해 새로운 공간인 디지털 원(digital circle) $C_6$을 얻는다.

$C_6$은 여섯 개의 점으로 이루어져 있으며, 각 점은 정확히 두 개의 이웃 점과 인접한다.

원래의 디지털 구간에서 양 끝점을 하나로 합쳐 새로운 공간을 만들었으므로, 이는 몫공간 구성의 전형적인 예라고 볼 수 있다.

참고: 이는 실수구간의 양 끝점을 연결하여 원을 만드는 과정과 매우 유사하다. 다만 여기서는 연속적인 공간이 아니라 유한한 개수의 점들로 이루어진 이산적인 구조를 다룬다는 차이가 있다.

한편 이 디지털 원은 디지털 위상수학에서도 중요한 예로 등장한다.

각 점이 이웃 점들과 인접관계를 이루고 있기 때문에 연결성(connectivity), 경로(path), 디지털 열린집합(digital open set) 등의 개념을 적용할 수 있다.

참고: 디지털 위상수학에서는 선택한 인접관계(adjacency)에 따라 열린집합의 정의가 달라질 수 있다. 예를 들어 1차원 원형 구조에서는 2-인접성, 2차원 격자에서는 4-인접성 또는 8-인접성, 3차원 격자에서는 6-인접성, 18-인접성 또는 26-인접성이 널리 사용된다.

마지막으로 강조할 점은 몫위상과 디지털 위상수학은 서로 다른 이론이라는 사실이다.

디지털 원은 몫공간으로 구성할 수 있으며 동시에 디지털 위상수학의 연구 대상이 될 수도 있다. 그러나 이것이 두 이론이 동일하다는 뜻은 아니다.

같은 공간이라도 몫위상의 관점에서 연구할 수 있고, 디지털 위상수학의 관점에서 연구할 수도 있다. 두 이론은 서로 다른 정의와 목적, 그리고 서로 다른 방법론을 사용하는 독립적인 수학적 틀로 이해해야 한다.

예제 4

지금까지 살펴본 예제들은 점들을 서로 붙여 원과 같은 새로운 공간을 만드는 경우였다. 이번에는 실수직선을 단 세 개의 점으로 압축하는 몫공간의 예를 통해 몫위상이 어떻게 결정되는지 살펴보자.

실수집합 $ \mathbb{R} $에 표준위상을 부여하고, 다음과 같은 전사사상 $ p:\mathbb{R}\to\{a,b,c\} $를 정의한다.

$$ p(x)= \begin{cases} a & \text{if } x<0 \\\\ b & \text{if } x=0 \\\\ c & \text{if } x>0 \end{cases} $$

이 사상은 음의 실수 전체를 하나의 점 $a$로, 원점 $0$을 점 $b$로, 양의 실수 전체를 점 $c$로 보낸다.

즉, 무한한 실수직선이 세 개의 점만 가진 공간으로 축약되는 것이다.

이제 중요한 질문은 다음과 같다.

이 새로운 공간에서 어떤 집합들이 열린집합이 될까?

이를 결정하기 위해서는 각 점의 원상을 살펴보면 된다.

$ p^{-1}(a)=(-\infty,0) $
$ p^{-1}(b)=\{0\} $
$ p^{-1}(c)=(0,\infty) $

표준위상을 갖는 실수직선에서는

$ (-\infty,0) $은 열린집합이다.
$ \{0\} $은 열린집합이 아니다.
$ (0,\infty) $는 열린집합이다.

몫위상의 정의에 따르면, 어떤 집합이 열린집합인지 여부는 그 원상이 원래 공간에서 열린집합인지에 의해 결정된다.

따라서 다음 집합들은 열린집합이다.

$\{a\}$
원상 $ (-\infty,0) $이 열린집합이므로 $\{a\}$는 열린집합이다.
$\{c\}$
원상 $ (0,\infty) $가 열린집합이므로 $\{c\}$도 열린집합이다.
$\{a,c\}$
원상은 $$ (-\infty,0)\cup(0,\infty) = \mathbb{R}\setminus\{0\} $$ 이며, 이는 열린집합이다. 따라서 $\{a,c\}$ 역시 열린집합이다.

또한 모든 위상공간과 마찬가지로 공집합과 전체공간도 열린집합이다.

$\emptyset$
$\{a,b,c\}$

반면 $\{b\}$는 열린집합이 아니다.

그 이유는

$$ p^{-1}(\{b\})=\{0\} $$

이며, $\{0\}$이 실수직선에서 열린집합이 아니기 때문이다.

결국 이 몫공간의 열린집합들은 다음과 같다.

$$ \emptyset,\quad \{a\},\quad \{c\},\quad \{a,c\},\quad \{a,b,c\} $$

흥미롭게도 $a$와 $c$는 각각 독립적인 열린집합을 이루지만, $b$는 그렇지 못하다.

직관적으로 보면 $b$는 음의 실수 영역과 양의 실수 영역이 만나는 경계의 정보를 담고 있는 점이라고 볼 수 있다.

참고: 원문에서는 $b$를 "singularity"라고 표현했지만, 이는 위상수학의 표준 용어는 아니다. 이 경우 $b$는 단지 단독으로 열린집합을 이루지 못하는 점일 뿐이며, 일반적으로 특이점이라고 부르지는 않는다.

몫위상의 기본 성질

몫위상은 일반적인 위상공간과 마찬가지로 위상의 공리를 만족한다. 따라서 열린집합에 관한 기본적인 성질들도 그대로 성립한다.

공집합과 전체공간은 항상 열린집합이다

모든 몫위상에서 공집합과 전체공간은 반드시 열린집합이다.
- 공집합의 경우
  $$ p^{-1}(\emptyset)=\emptyset $$ 이며, 공집합은 원래 공간 $X$에서 열린집합이다.
- 전체공간의 경우
  $$ p^{-1}(A)=X $$ 이며, $X$는 항상 자기 자신의 위상에서 열린집합이다.
따라서 공집합과 전체공간은 몫공간에서도 항상 열린집합이 된다.

참고: 이는 몫위상만의 특별한 성질이 아니라 모든 위상공간이 만족하는 기본 공리이다.
열린집합들의 합집합

$A$의 열린집합족 $\{U_i\}_{i\in I}$를 생각하자.

각 $U_i$가 열린집합이면 원상 $p^{-1}(U_i)$는 모두 원래 공간 $X$에서 열린집합이다.

또한 원상은 합집합과 교환된다.

$$ p^{-1}\!\left(\bigcup_{i\in I}U_i\right) = \bigcup_{i\in I}p^{-1}(U_i) $$

우변은 열린집합들의 임의의 합집합이므로 열린집합이다.

따라서 $\bigcup_{i\in I}U_i$ 역시 몫공간에서 열린집합이다.

결론: 몫위상에서는 열린집합들의 임의의 합집합이 항상 열린집합이다.
열린집합들의 유한 교집합

$U_1,\dots,U_n$이 몫공간의 열린집합이라고 하자.

그러면 각 원상 $p^{-1}(U_i)$는 원래 공간 $X$에서 열린집합이다.

원상은 유한 교집합과도 교환된다.

$$ p^{-1}\!\left(\bigcap_{i=1}^{n}U_i\right) = \bigcap_{i=1}^{n}p^{-1}(U_i) $$

우변은 열린집합들의 유한 교집합이므로 열린집합이다.

따라서 $\bigcap_{i=1}^{n}U_i$ 역시 몫공간에서 열린집합이다.

결론: 몫위상에서는 열린집합들의 유한 교집합이 항상 열린집합이다.

이러한 성질들은 몫위상이 실제로 위상공간의 공리를 만족하는 정당한 위상임을 보여 준다.

또한 몫위상은 연속성, 연결성, 경로연결성, 콤팩트성 등 다양한 위상적 개념과 깊이 연결되어 있으며, 복잡한 공간을 보다 단순한 공간으로부터 구성하는 강력한 도구로 위상수학 전반에서 널리 활용된다.