위상공간에서의 수렴
위상공간 \( X \)에서 점 \( x \in X \)에 대하여, \( x \)의 모든 근방 \( U \)마다 어떤 양의 정수 \( N \)이 존재하여 모든 \( n \geq N \)에 대해 \( x_n \in U \)가 성립하면, 수열 \( (x_n) \)은 \( x \)로 수렴한다고 한다. 이때 \( x \)를 수열 \( (x_n) \)의 극한점(limit point)이라고 부른다.
쉽게 말하면, 수열의 항들이 충분히 뒤로 갈수록 점점 특정한 점 \( x \) 가까이에 모이게 되면, 그 수열은 \( x \)로 수렴한다고 말한다.
이를 수학적으로 표현하면 다음과 같다.
$$ \lim_{n \to \infty} x_n = x $$
위상공간에서 근방의 의미
위상수학에서 중요한 개념 가운데 하나가 바로 근방(neighborhood)이다.
점 \( x \)의 근방이란, 직관적으로 말해 점 \( x \)를 둘러싸고 있는 "충분히 가까운 영역"을 의미한다. 위상공간에서 수렴은 거리 자체보다는 이러한 근방의 개념을 이용해 정의된다.
즉, 수열의 항들이 어느 순간 이후부터 항상 \( x \)의 모든 근방 안에 들어간다면, 그 수열은 \( x \)로 수렴한다고 본다.
구체적인 예시
이제 표준위상을 갖는 위상공간 \( X=\mathbb{R} \)에서 다음 수열을 살펴보자.
$$ x_n=\frac{1}{n} $$
이 수열의 항들을 실제로 계산해 보면
$$ 1,\quad \frac{1}{2},\quad \frac{1}{3},\quad \frac{1}{4},\quad \dots $$
와 같이 점점 작아지며 0에 가까워진다.
이제 이 수열이 실제로 0으로 수렴한다는 것을 위상공간의 정의를 이용해 확인해 보자.
0의 임의의 근방 \( U \)를 잡는다.
\( \mathbb{R} \)의 표준위상에서는 0의 모든 근방이 어떤 \( \epsilon > 0 \)에 대해 열린구간 \( (-\epsilon,\epsilon) \)을 포함한다.
따라서 충분히 큰 \( n \)에 대해
$$ \frac{1}{n} \in (-\epsilon,\epsilon) $$
가 되면 된다.
\(\epsilon > 0\)가 주어졌다고 하자. 이때 다음과 같이 둘 수 있다.
$$ N=\left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil $$
그러면 모든 \( n \geq N \)에 대해
$$ n \geq \frac{1}{\epsilon} \implies \frac{1}{n} \leq \epsilon $$
이 성립한다.
즉, 충분히 큰 \( n \)에서는 항상
$$ \left| \frac{1}{n} \right| < \epsilon $$
이 된다.
따라서 수열의 항들은 결국 모두 0의 임의의 근방 안에 포함되며, 다음 결론을 얻는다.
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}=0 $$
즉, 0은 수열 \( \left( \frac{1}{n} \right) \)의 극한점이다.
직관적으로 이해하기
수열 \( \frac{1}{n} \)은 \( n \)이 커질수록 점점 더 작은 값을 가진다.
처음에는 1, 0.5, 0.333처럼 비교적 큰 값이 나오지만, 뒤로 갈수록 값은 계속 감소하며 0에 가까워진다.
중요한 점은, 어느 순간 이후에는 수열의 모든 항이 0 주변의 아주 작은 구간 안에 계속 머무르게 된다는 것이다.
이것이 바로 위상공간에서 말하는 수렴의 핵심 아이디어이다.
수열의 처음 10개 항
다음 표는 수열의 처음 10개 항을 나타낸 것이다.
$$
\begin{array}{|c|c|}
\hline
n & \frac{1}{n} \\
\hline
1 & 1 \\
2 & 0.5 \\
3 & 0.333 \\
4 & 0.25 \\
5 & 0.2 \\
6 & 0.167 \\
7 & 0.143 \\
8 & 0.125 \\
9 & 0.111 \\
10 & 0.1 \\
\hline
\end{array}
$$
예를 들어 \( N=5 \)라고 하자.
이때 \( x_5=\frac{1}{5}=0.2 \)이며, 모든 \( n>5 \)에 대해 이후의 항들은 근방 \( U=(0,0.2) \) 안에 포함된다.
마찬가지로 \( N=10 \)을 선택하면 \( x_{10}=0.1 \)이 되고, 이후의 모든 항들은 근방 \( U=(0,0.1) \) 안에 포함된다.
이와 같은 현상은 어떤 \( N \)을 선택하더라도 동일하게 나타난다.
따라서 0은 이 수열의 극한점이며, 수열 \( \left( \frac{1}{n} \right) \)은 0으로 수렴한다.
