하한 한계 위상 (Lower Limit Topology)

하한 한계 위상이란, [a, b) (a < b) 형태의 왼쪽이 닫히고 오른쪽이 열린 구간들의 합집합으로 열린 집합을 정의하는 위상이다.

쉽게 말해, 하한 한계 위상에서는 구간의 시작점 a는 포함되지만 끝점 b는 포함되지 않는다. 이 점이 표준 위상과 구별되는 핵심적인 특징이다.

이 위상의 기저(base)는 다음과 같이 정의된다.

$$ B = \{ [a,b) ⊂ R \ | \ a \lt b \} $$

각 기저 원소는 하한값이 그 구간 안에 포함된다는 특징을 갖는다. 즉, 구간의 왼쪽 끝은 '닫혀 있고', 오른쪽 끝은 '열려 있다'.

참고: 하한 한계 위상은 실수 집합 \( R \) 위에 정의된 특수한 위상으로, 표준 위상과는 다르다. 표준 위상에서는 열린 구간이 (a, b) 형태로 양쪽 끝점이 모두 제외된다.

이 위상은 위상수학 강의에서 자주 등장하는 고전적인 예시로, 위상의 선택에 따라 '열린 집합'의 개념이 어떻게 달라지는지를 직관적으로 보여주는 데 사용된다.

따라서 하한 한계 위상에서는 [a,b) 형태의 모든 왼쪽 닫히고 오른쪽 열린 구간이 열린 집합으로 간주된다.

예시로 살펴보기

실수 집합 \( R \) 위에서 하한 한계 위상을 적용해 보면, [a,b) 형태의 구간들이 열린 집합을 구성한다는 것을 확인할 수 있다.

예를 들어, [0,2), [1,4), [-4,2) 등의 구간을 생각해 보자. 이런 구간들이 모여 하한 한계 위상의 기저를 이룬다.

이처럼, 구간의 정의를 조금만 바꾸어도 위상의 구조 전체가 달라질 수 있다는 점은 위상수학의 흥미로운 부분 중 하나다.