위상공간의 곱위상

두 위상공간 $X$와 $Y$가 주어졌을 때, $X \times Y$ 위에는 새로운 위상을 정의할 수 있다. 이를 곱위상(product topology)이라고 한다. 곱위상은 기저 $B$에 의해 생성되며, 이 기저는 $X$의 열린집합 $U$와 $Y$의 열린집합 $V$에 대해 만들어지는 모든 데카르트 곱 $U \times V$로 이루어진다. $$ B = \{ U \times V \mid U \text{ is open in } X \text{ and } V \text{ is open in } Y \} $$

곱위상의 핵심 아이디어는 매우 직관적이다. 원래 공간 $X$와 $Y$에서 열린집합인 것들을 조합하여, 곱공간 $X \times Y$에서도 자연스러운 열린 구조를 만들자는 것이다.

이를 위해 $X$의 열린집합 $U$와 $Y$의 열린집합 $V$를 이용해 $U \times V$ 형태의 집합들을 만든다. 이러한 집합들의 모임 $B$를 위상의 기저(basis)라고 한다.

위상의 기저란, 곱공간 $X \times Y$의 모든 열린집합을 기저 원소들의 합집합으로 표현할 수 있도록 하는 열린집합들의 모임이다.

곱위상에서는 열린집합들의 데카르트 곱 역시 열린집합이 된다.

참고: 곱위상의 열린집합은 단순히 $U \times V$ 형태의 집합만을 의미하지 않는다. 이러한 곱집합들의 임의의 합집합 역시 모두 열린집합에 포함된다. 따라서 집합 $B$ 자체는 완전한 위상이 아니라, 곱위상을 생성하는 기저 역할을 한다. 만약 $B$만을 위상으로 간주한다면, 여러 곱집합의 합집합으로 만들어지는 다양한 열린집합들을 충분히 포함할 수 없게 된다.

같은 원리는 닫힌집합에도 적용된다.

곱위상에서는 닫힌집합들의 데카르트 곱 역시 닫힌집합이 된다.

하지만 곱위상의 모든 닫힌집합이 반드시 닫힌집합들의 곱 형태로 표현되는 것은 아니다.

즉, 열린집합의 경우와 마찬가지로, 닫힌집합 가운데에도 단순한 데카르트 곱만으로 표현되지 않는 경우가 존재한다.

곱위상의 구체적인 예
여러 위상공간의 곱
곱위상의 기저
추가 참고 사항

곱위상의 구체적인 예

이제 간단한 예를 통해 곱위상이 실제로 어떻게 작동하는지 살펴보자.

다음과 같은 두 위상공간을 생각하자.

$X$는 표준위상을 가진 실수직선 $\mathbb{R}$이다. 즉, 열린집합은 열린구간 $(a, b)$ 형태로 이루어진다.
$Y$ 역시 같은 표준위상을 가진 실수직선 $\mathbb{R}$이다.

이때 곱공간 $X \times Y$는 데카르트 평면 $\mathbb{R}^2$를 이룬다.

곱위상의 기저 $B$를 만들기 위해서는, $X$의 열린집합 $U$와 $Y$의 열린집합 $V$를 선택한 뒤, 이들의 곱집합 $U \times V$를 고려하면 된다.

예를 들어, 다음과 같은 열린구간을 생각해 보자.

$U = (1, 2) \subset X$

$V = (3, 4) \subset Y$

그러면

$$ U \times V = (1, 2) \times (3, 4) $$

는 $\mathbb{R}^2$에서 열린집합이 된다. 기하학적으로 보면, 이는 평면 위의 열린 직사각형 영역에 해당한다.

곱위상의 예시

이제 두 개의 기저 원소를 합집합으로 만들었을 때를 생각해 보자.

먼저

$$ U_1 \times V_1 = (1, 2) \times (3, 4) $$

를 잡고, 또 다른 집합

$$ U_2 \times V_2 = (1.5, 2.5) \times (3.5, 4.5) $$

를 생각하자.

이 두 집합은 평면 위에서 서로 일부가 겹치는 열린 직사각형 영역을 나타낸다.

열린집합들의 합집합 예시

이들의 합집합은 하나의 단순한 데카르트 곱 $U \times V$ 형태는 아니지만, 여전히 기저 원소들의 합집합이므로 곱위상에서 열린집합이 된다.

$$ (1, 2) \times (3, 4) \cup (1.5, 2.5) \times (3.5, 4.5) $$

이처럼 곱위상에서는 여러 기저 원소를 합쳐 훨씬 다양한 열린집합을 만들 수 있다.

예를 들어 점 $(1.8, 3.8)$을 생각해 보자.

이 점은

$$ (1, 2) \times (3, 4) $$

안에 포함되므로, 기저 원소들의 합집합에도 속하게 된다.

곱위상에서의 포함 관계 예시

이 예는 기저 $B$가 실제로 곱공간 $X \times Y$ 위에 올바른 위상을 생성한다는 사실을 잘 보여준다.

참고: 곱위상은 원래 공간 $X$와 $Y$의 열린 구조를 곱공간에서도 자연스럽게 유지해 준다는 점에서 매우 중요한 개념이다. 특히 다변수 해석학, 함수해석학, 미분위상수학 등 다양한 수학 분야에서 핵심적인 역할을 한다.

예제 2

이제 유한한 집합 위에서 곱위상이 어떻게 만들어지는지 구체적인 예를 통해 살펴보자.

다음과 같은 두 위상공간을 생각하자.

$X = \{a, b, c\}$, 위상은 $\{\emptyset, \{a\}, \{b, c\}, X\}$
$Y = \{1, 2\}$, 위상은 $\{\emptyset, \{1\}, Y\}$

$X \times Y$ 위의 곱위상을 구하려면, 먼저 $X$와 $Y$에서 열린집합인 것들의 모든 데카르트 곱을 계산한 뒤, 이들로부터 만들어질 수 있는 모든 합집합을 고려해야 한다.

곱위상의 기저는 다음과 같이 정의된다.

$$ B = \{ U \times V \mid U \text{ is open in } X \text{ and } V \text{ is open in } Y \} $$

먼저 $X$의 열린집합들을 정리해 보자.

$\emptyset$
$\{a\}$
$\{b, c\}$
$X = \{a, b, c\}$

다음으로 $Y$의 열린집합은 다음과 같다.

$\emptyset$
$\{1\}$
$Y = \{1, 2\}$

이제 이 열린집합들의 데카르트 곱을 차례대로 계산해 보자.

$\emptyset \times \emptyset = \emptyset$
$\emptyset \times \{1\} = \emptyset$
$\emptyset \times Y = \emptyset$
$\{a\} \times \emptyset = \emptyset$
$\{a\} \times \{1\} = \{(a, 1)\}$
$\{a\} \times Y = \{(a, 1), (a, 2)\}$
$\{b, c\} \times \emptyset = \emptyset$
$\{b, c\} \times \{1\} = \{(b, 1), (c, 1)\}$
$\{b, c\} \times Y = \{(b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$
$X \times \emptyset = \emptyset$
$X \times \{1\} = \{(a, 1), (b, 1), (c, 1)\}$
$X \times Y = \{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$

참고: 데카르트 곱 $A \times B$는 첫 번째 집합 $A$의 원소와 두 번째 집합 $B$의 원소를 순서쌍으로 묶어 만든 집합이다. 형식적으로는 다음과 같이 정의된다. \[ A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \text{ and } b \in B\} \] 만약 두 집합 가운데 하나가 공집합 $\emptyset$이라면, 그 집합에는 원소가 존재하지 않으므로 순서쌍을 만들 수 없다. 따라서 공집합과 임의의 집합의 데카르트 곱은 항상 공집합이 된다. \[ \emptyset \times B = \emptyset \] 예를 들어, \[ \emptyset \times \{1\} = \emptyset \] 이다.

곱위상은 위에서 얻은 데카르트 곱들의 가능한 모든 합집합으로 구성된다. 따라서 $X \times Y$ 위의 곱위상에는 다음과 같은 집합들이 포함된다.

$\emptyset$
$\{(a, 1)\}$
$\{(a, 1), (a, 2)\}$
$\{(b, 1), (c, 1)\}$
$\{(b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$
$\{(a, 1), (b, 1), (c, 1)\}$
$X \times Y = \{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$
그리고 이러한 집합들의 모든 가능한 합집합
예를 들어, $\{(a, 1)\} \cup \{(b, 1), (c, 1)\} = \{(a, 1), (b, 1), (c, 1)\}$ 역시 곱위상의 열린집합이다.

즉, 곱위상은 단순히 데카르트 곱들만 모아 놓은 것이 아니라, 그러한 곱집합들을 서로 합쳐 얻어지는 모든 집합까지 포함하는 위상이다.

이 예는 곱위상에서 열린집합이 단순히 $X \times Y$ 형태의 곱집합만으로 이루어지는 것이 아니라, 데카르트 곱들의 합집합 또한 열린집합이 된다는 사실을 잘 보여준다.

예를 들어, $\{(a, 1)\} \cup \{(b, 1), (c, 1)\}$은 하나의 단순한 곱집합 형태는 아니지만, 기저 원소들의 합집합이므로 곱위상에서 열린집합이 된다. 따라서 곱위상에서 오직 $U \times V$ 형태의 집합만 열린집합이라고 생각하는 것은 올바르지 않다.

한편, 위상 $X \times Y$의 기저 $B$는 공집합이 아닌 다음과 같은 데카르트 곱들로 이루어진다.

$\{(a, 1)\}$
$\{(a, 1), (a, 2)\}$
$\{(b, 1), (c, 1)\}$
$\{(b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$
$\{(a, 1), (b, 1), (c, 1)\}$
$X \times Y = \{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$

여러 위상공간의 곱

곱위상의 개념은 두 개의 위상공간에만 적용되는 것이 아니다. 동일한 원리를 이용하면 여러 개의 위상공간에 대해서도 자연스럽게 곱위상을 정의할 수 있다.

$n$개의 위상공간 $X_1, X_2, \dots, X_n$이 주어졌다고 하자. 각 공간 $X_i$에서 열린집합 $U_i$를 하나씩 선택하면, 이들의 곱집합 $U_1 \times U_2 \times \cdots \times U_n$들의 모임은 곱공간 $X_1 \times \cdots \times X_n$ 위의 새로운 위상을 생성하는 기저를 이룬다. $$ B = \{ U_1 \times U_2 \times \cdots \times U_n \mid U_i \text{ is open in } X_i \text{ for each } i \} $$

즉, 여러 위상공간의 곱에서도 기본적인 아이디어는 동일하다. 각 공간에서 열린집합을 선택한 뒤, 이들을 데카르트 곱으로 결합하여 새로운 공간의 열린 구조를 정의하는 것이다.

곱위상의 기저

일반적으로 두 위상공간의 열린집합들의 데카르트 곱은 곱위상의 기저를 이룬다.

$$ B = \{ U \times V \mid U \text{ is open in } X \text{ and } V \text{ is open in } Y \} $$

하지만 실제로는 이러한 기저의 크기가 매우 커질 수 있다. 특히 위상공간이 복잡해질수록 모든 열린집합을 직접 사용하는 방식은 비효율적이 된다.

이 때문에 보통은 더 작고 효율적인 기저를 구성하는 방법을 사용한다.

두 위상공간 $X$와 $Y$가 각각 위상의 기저 $B_X$와 $B_Y$를 가진다고 하자. 이때 곱공간 $X \times Y$ 위의 곱위상에 대한 기저는 이들 기저의 데카르트 곱으로 구성할 수 있다. $$ B = \{ U \times V \mid U \in B_X \text{ and } V \in B_Y \} $$

이 집합 $B$는 $X \times Y$ 위의 곱위상을 생성하는 기저가 된다.

즉, $B$의 원소들은 곱위상의 기본 열린집합 역할을 하며, 곱위상의 모든 열린집합은 이러한 데카르트 곱 $U \times V$들의 합집합으로 표현된다.

참고: 이 개념은 두 개의 위상공간에만 국한되지 않는다. $n$개의 위상공간 $X_1, X_2, \dots, X_n$이 주어지고, 각 공간의 기저를 $B_i$라고 하면, 이들 기저의 데카르트 곱은 곱공간 $X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n$ 위의 곱위상의 기저를 이룬다. $$ B = \{ B_1 \times \cdots \times B_n \ \ \mid \ \ B_i \text{ is a basis for } X_i \text{ for } i = 1, \ldots, n \} $$

예제

다음과 같은 두 위상공간을 생각해 보자.

위상공간 $X = \{a, b\}$는 위상 $ \mathcal{T}_X = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} $를 가지며, 최소 기저는 $ B_X = \{\{a\}, \{b\}\} $이다.
위상공간 $Y = \{1, 2\}$는 위상 $ \mathcal{T}_Y = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\} $를 가지며, 최소 기저는 $ B_Y = \{\{1\}, \{2\}\} $이다.

곱위상의 최소 기저는 각 위상공간의 모든 열린집합을 사용하는 대신, 기저 원소들의 데카르트 곱만을 이용해 구성할 수 있다.

$$ B_X = \{\{a\}, \{b\}\} $$

$$ B_Y = \{\{1\}, \{2\}\} $$

이 두 기저의 데카르트 곱은 다음과 같다.

$$ \{a\} \times \{1\} = \{(a, 1)\} $$

$$ \{a\} \times \{2\} = \{(a, 2)\} $$

$$ \{b\} \times \{1\} = \{(b, 1)\} $$

$$ \{b\} \times \{2\} = \{(b, 2)\} $$

따라서 $X \times Y$ 위의 곱위상에 대한 최소 기저는 다음과 같이 얻어진다.

$$ B_{\text{min}} = \{\{(a, 1)\}, \{(a, 2)\}, \{(b, 1)\}, \{(b, 2)\}\} $$

이 최소 기저만으로도 $X \times Y$ 위의 전체 곱위상을 완전히 생성할 수 있다.

즉, 곱위상의 모든 열린집합은 이러한 최소 기저 원소들의 합집합으로 표현된다.

참고: 핵심은 더 이상 분해할 수 없는 가장 기본적인 열린집합들의 데카르트 곱만 사용하더라도, 전체 곱위상을 완전히 기술할 수 있다는 점이다. 따라서 훨씬 더 작고 효율적인 기저를 사용할 수 있다.

증명

이제 집합 $B$가 실제로 $X \times Y$ 위의 곱위상의 기저가 된다는 사실을 증명해 보자.

$$ B = \{U \times V \mid U \in B_X \text{ and } V \in B_Y\} $$

여기서 $B_X$는 $X$의 위상에 대한 기저이고, $B_Y$는 $Y$의 위상에 대한 기저이다.

곱위상에서는 $U$가 $X$의 열린집합이고 $V$가 $Y$의 열린집합일 때, $U \times V$ 형태의 집합들의 합집합이 열린집합이 된다.

따라서 $B$가 곱위상의 기저임을 보이기 위해서는, $X \times Y$의 임의의 열린집합 $W$가 $B$의 원소들의 합집합으로 표현될 수 있음을 보이면 충분하다.

기저 조건의 확인

$W$를 $X \times Y$ 위의 곱위상에서 열린집합이라고 하고, $(x, y)$를 $W$에 속하는 점이라고 하자.

곱위상의 정의에 따라, 다음을 만족하는 열린집합 $U' \subseteq X$와 $V' \subseteq Y$가 존재한다.

$$ (x, y) \in U' \times V' \subseteq W $$

$U'$는 $X$에서 열린집합이고 $B_X$가 $X$의 기저이므로, 다음을 만족하는 $U \in B_X$가 존재한다.

$$ x \in U \subseteq U' $$

마찬가지로 $V'$는 $Y$에서 열린집합이고 $B_Y$가 $Y$의 기저이므로, 다음을 만족하는 $V \in B_Y$가 존재한다.

$$ y \in V \subseteq V' $$

따라서 다음 관계가 성립한다.

$$ (x, y) \in U \times V \subseteq U' \times V' \subseteq W $$

즉, 열린집합 $W$의 임의의 점 $(x, y)$에 대해, 그 점을 포함하면서 동시에 $W$ 안에 포함되는 기저 원소 $U \times V$가 존재한다.

결론

따라서 곱위상의 모든 열린집합은 기저 $B$의 원소들의 합집합으로 표현될 수 있다.

결국

$$ B = \{U \times V \mid U \in B_X \text{ and } V \in B_Y\} $$

는 실제로 $X \times Y$ 위의 곱위상을 생성하는 기저가 된다.

이로써 증명이 완료된다.

추가 참고 사항

다음은 곱위상과 관련된 대표적인 정리들이다.

곱공간의 부분공간 정리
위상공간 $X$와 $Y$의 부분공간 $A$와 $B$를 생각하자. 이때 $X \times Y$의 부분공간으로서 $A \times B$에 부여된 위상은, 각각의 부분공간 위상으로부터 생성된 곱위상과 정확히 일치한다. 즉, 어떤 방식으로 위상을 구성하더라도 결과적으로 동일한 위상구조를 얻게 된다. $$ \quad \tau_{A \times B}^{\text{sub}} = \tau_A^{\text{sub}} \times \tau_B^{\text{sub}} $$
곱공간의 위상동형성
세 위상공간 $X$, $Y$, $Z$에 대하여, 곱공간 $ (X \times Y) \times Z $, $ X \times (Y \times Z) $, 그리고 $ X \times Y \times Z $는 서로 위상동형이다. 즉, 괄호를 어떤 방식으로 묶더라도 결과적으로 동일한 위상구조를 갖는다. $$ (X \times Y) \times Z \cong X \times (Y \times Z) \cong X \times Y \times Z $$
데카르트 곱의 내부 정리
위상공간 $X$와 $Y$의 부분집합 $A$와 $B$에 대하여, 데카르트 곱 $A \times B$의 내부는 각 집합의 내부의 데카르트 곱과 일치한다. $$ \text{Int}(A \times B) = \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$

이 밖에도 곱위상과 관련된 다양한 중요한 성질과 정리들이 존재한다.