몫위상에서 열린집합의 유한 교집합

몫위상(quotient topology)에서는 열린집합들의 유한 교집합에 대한 원상(preimage)이 각 열린집합의 원상들의 교집합과 정확히 일치한다. 또한 이 교집합은 원래 공간 \( X \)의 위상에서 열린집합이 된다. 즉, 다음 관계가 성립한다. $$ p^{-1}( \bigcap U_i ) = \bigcap p^{-1}(U_i) $$ 따라서 몫위상에서도 열린집합들의 유한 교집합은 항상 열린집합이다.

구체적인 예

이 성질을 보다 직관적으로 이해하기 위해 대표적인 몫공간인 \( A = \mathbb{R}/\mathbb{Z} \)를 살펴보자. 이 공간은 흔히 원(circle)으로 시각화된다.

여기서 원래 공간은 실수 전체의 집합 \( \mathbb{R} \)이며, 몫사상 \( p: \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z} \)는 각 실수를 그 소수 부분(fractional part)에 대응시킨다.

이 몫공간은 구간 [0,1)로 표현할 수 있으며, 길이가 1만큼 차이나는 실수들은 모두 같은 점으로 간주된다.

예를 들어 0.3, 1.3, 2.3, 3.3은 몫공간에서 모두 동일한 점인 0.3에 대응된다.

이제 원 \( A \) 위에 다음과 같은 두 열린집합을 정의하자.

$$ U_1 = (0.1, 0.5) $$

$$ U_2 = (0.3, 0.7) $$

이 두 구간은 몫위상 \( \mathbb{R}/\mathbb{Z} \)에서 열린집합이다.

두 집합의 공통 부분을 구하면 다음과 같다.

$$ U_1 \cap U_2 = (0.3, 0.5) $$

결과는 또 하나의 열린구간이다. 따라서 직관적으로 보아도 이 교집합은 열린집합임을 알 수 있다.

이제 몫위상의 정의에 따라 원상을 이용해 이를 확인해 보자.

\( \mathbb{R} \)에서 \( U_1 \)의 원상은 실수축 전체에 걸쳐 주기적으로 반복되는 열린구간들의 합집합으로 나타난다.

$$ p^{-1}(U_1) = (0.1, 0.5) \cup (1.1, 1.5) \cup (2.1, 2.5) \cup \dots $$

마찬가지로 \( U_2 \)의 원상은 다음과 같다.

$$ p^{-1}(U_2) = (0.3, 0.7) \cup (1.3, 1.7) \cup (2.3, 2.7) \cup \dots $$

이제 교집합의 원상을 구해 보자.

원상의 기본 성질에 의해

$$ p^{-1}(U_1 \cap U_2) = p^{-1}(U_1) \cap p^{-1}(U_2) $$

가 성립한다.

따라서

$$ p^{-1}(U_1 \cap U_2) = (0.3, 0.5) \cup (1.3, 1.5) \cup (2.3, 2.5) \cup \dots $$

를 얻는다.

이 집합은 \( \mathbb{R} \)의 표준위상에서 열린구간들의 합집합이므로 열린집합이다.

즉, 교집합의 원상이 \( \mathbb{R} \)에서 열린집합이므로 \( U_1 \cap U_2 \) 역시 몫위상 \( \mathbb{R}/\mathbb{Z} \)에서 열린집합이다.

결국 몫위상에서도 일반적인 위상공간과 마찬가지로 열린집합들의 유한 교집합은 항상 열린집합이 된다. 이는 위상의 기본 공리 가운데 하나가 몫위상에서도 그대로 유지된다는 사실을 보여주는 대표적인 예이다.

이와 같은 논리는 원뿐만 아니라 임의의 몫공간에도 동일하게 적용된다.