집합의 경계 (Boundary of a Set)

위상공간 \( X \)에서 부분집합 \( A \)의 경계 \( \partial A \)는 \( A \)의 폐포에는 속하지만 내부에는 속하지 않는 점들의 집합이다. \[ \partial A = \text{Cl}(A) - \text{Int}(A) \]

\( \text{Cl}(A) \)는 \( A \)의 폐포로, 집합 \( A \)의 모든 점과 극한점을 포함한다.

\( \text{Int}(A) \)는 \( A \)의 내부로, 어떤 근방이 მთლიანভাবে \( A \) 안에 들어가는 점들로 이루어진다.

경계는 집합 자체의 고정된 성질이 아니다. 어떤 위상을 선택하느냐에 따라 달라진다.

즉, 같은 집합이라도 위상이 바뀌면 경계 역시 달라질 수 있다.

직관적으로 말하면, 경계점은 집합 \( A \)와 여집합 \( X \setminus A \)에 모두 임의로 가깝게 접근할 수 있는 점이다.

구체적인 예시

표준위상을 갖는 실수직선 \( \mathbb{R} \)에서 열린구간 \( A = (0, 1) \)을 생각하자.

이 집합의 경계를 단계적으로 구해보자.

1] 폐포 계산

\( A = (0,1) \)의 모든 점은 극한점이며, 끝점 0과 1도 극한점이다.

따라서

$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$

2] 내부 계산

열린구간의 모든 점은 내부점이다.

따라서

$$ \text{Int}(A) = (0,1) $$

3] 경계 계산

$$ \partial A = \text{Cl}(A) - \text{Int}(A) $$

$$ \partial A = [0,1] - (0,1) = \{0,1\} $$

결론적으로, 표준위상에서 \( (0,1) \)의 경계는 \(\{0,1\}\)이다.

0과 1은 집합의 안쪽과 바깥쪽에 모두 임의로 가깝게 접근할 수 있는 점이다.

경계 정리

점 \( x \)가 경계에 속할 필요충분조건은, \( x \)의 모든 근방이 \( A \)와 \( X-A \)를 동시에 만나는 것이다. 즉, \( x \in \partial A \).

이 정리는 경계점을 판별하는 실질적인 기준을 제공한다.

예시

다시 \( A = (0,1) \subset \mathbb{R} \).

$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$

$$ \text{Int}(A) = (0,1) $$

$$ \partial A = \{0,1\} $$

1] 점 0

근방 \( (0-\epsilon, 0+\epsilon) \).

이 근방은 항상 \( A \)와 교차한다.

또한 \( X-A \)와도 교차한다.

따라서 \( 0 \in \partial A \).

2] 점 1

근방 \( (1-\epsilon, 1+\epsilon) \).

이 근방 역시 \( A \)와 \( X-A \)를 동시에 만난다.

따라서 \( 1 \in \partial A \).

3] 내부점 0.5

충분히 작은 근방을 선택하면 전부 \( A \) 안에 포함된다.

\( X-A \)와 교차하지 않는다.

따라서 \( 0.5 \notin \partial A \).

정리를 통해 0과 1은 경계점이고, 0.5는 경계점이 아님을 확인했다.

참고 사항

• \( \partial A \subseteq A \) ⇔ \( A \)는 닫힌집합
  \[ \partial A \subseteq A \Leftrightarrow A \text{ è chiuso} \]
• \( \partial A \cap A = \emptyset \) ⇔ \( A \)는 열린집합
  \[ \partial A \cap A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ is open} \]
• \( \partial A = \emptyset \) ⇔ \( A \)는 clopen 집합
  \[ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ is clopen} \]
• \( \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X-A) \)
• 경계는 항상 닫힌집합
• \( \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset \)
• \( \partial A \cup \text{Int}(A) = \text{Cl}(A) \)

이 외에도 다양한 성질이 성립한다.