위상적 성질 (Topological Property)

위상적 성질이란 위상동형사상(homeomorphism)을 적용해도 변하지 않는 위상공간의 근본적인 특성을 말한다.

쉽게 말해, 두 위상공간이 위상동형이라는 것은 두 공간 사이에 연속적이고 일대일 대응이 존재하며, 그 역함수도 연속이라는 뜻이다. 이런 경우 두 공간은 위상적으로 완전히 같은 성질을 공유하게 된다.

예를 들어, 하우스도르프 공간(Hausdorff space)이라는 개념은 대표적인 위상적 성질이다. 어떤 공간이 하우스도르프 공간이고, 그것이 다른 공간과 위상동형이라면, 그 다른 공간 역시 하우스도르프 공간이 된다.

이와 마찬가지로, 연결성(connectedness), 콤팩트성(compactness), 분리 가능성(separability) 등도 모두 위상적 성질에 속한다. 즉, 이런 성질들은 공간의 모양을 어떻게 늘리거나 구부려도 변하지 않는다.

정리하자면, 어떤 성질이 위상적이라고 부를 수 있으려면, 그것이 위상동형사상에 의해 항상 보존되어야 한다.

이 개념은 위상수학의 핵심적인 아이디어로, 겉보기에는 전혀 달라 보이는 두 공간이 사실상 동일한 구조를 가지고 있는지를 판단할 수 있게 해준다. 덕분에 우리는 공간의 "형태"를 눈에 보이는 모양이 아닌, 변형에도 변하지 않는 본질적인 특성으로 이해하게 된다.

참고로, 위상동형사상은 단순히 연속적인 대응일 뿐 아니라 열린 사상(open map)의 성질도 함께 갖는다.