거리 공간
거리 공간이란 무엇인가?
거리 공간(metric space)은 집합 \( X \)와 거리 함수 \( d \)로 이루어진 순서쌍 \( (X, d) \)이다. 여기서 거리 함수(metric) \( d \)는 집합 \( X \)의 임의의 두 점 \( x, y \in X \)에 대해 음이 아닌 실수 \( d(x, y) \)를 대응시키며, 그 값은 두 점 사이의 거리를 나타낸다. 일반적으로 이러한 거리 공간은 다음과 같이 표기한다. $$ (X,d) $$
거리 함수가 되기 위해서는 다음 세 가지 기본 성질을 만족해야 한다.
- 양의 정부호성(Positive definiteness): 모든 \( x, y \in X \)에 대해 \( d(x, y) \geq 0 \)이다. 또한 \( d(x, y)=0 \)인 경우는 오직 \( x=y \)일 때뿐이다. 즉, 한 점에서 자기 자신까지의 거리는 0이며, 서로 다른 두 점 사이의 거리는 항상 양수이다.
- 대칭성(Symmetry): 모든 \( x, y \in X \)에 대해 \( d(x, y)=d(y, x) \)가 성립한다. 따라서 \( x \)에서 \( y \)까지의 거리와 \( y \)에서 \( x \)까지의 거리는 언제나 같다.
- 삼각 부등식(Triangle inequality): 모든 \( x, y, z \in X \)에 대해 \( d(x, y)+d(y, z)\geq d(x, z) \)이다. 즉, 두 점을 직접 연결한 거리는 제3의 점을 거쳐 이동한 거리의 합보다 클 수 없다.
이처럼 거리 공간은 집합의 원소들 사이의 거리를 엄밀하게 정의하는 수학적 구조이다. 이를 바탕으로 연속성, 수렴, 콤팩트성과 같은 해석학과 위상수학의 핵심 개념을 체계적으로 연구할 수 있다.
한마디로 말하면, 거리 공간은 거리 함수 \( d \)가 정의된 집합 \( X \)이다.
여기서 집합 \( X \)는 단순한 점들의 모임일 수도 있고, 벡터 공간과 같은 보다 일반적인 수학적 구조일 수도 있다.
예제로 살펴보기
거리 공간의 가장 대표적인 예는 \( \mathbb{R}^n \) 위의 유클리드 공간(Euclidean space)이다. 예를 들어 \( n=2 \)이면 평면을, \( n=3 \)이면 우리가 익숙한 3차원 공간을 의미한다.
\( \mathbb{R}^2 \), 즉 데카르트 평면을 생각해 보자.
유클리드 거리(Euclidean metric) \( d \)는 두 점 \( p=(p_1,p_2) \)와 \( q=(q_1,q_2) \)에 대해 다음과 같이 정의된다.
$$ d(p, q) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2} $$
이 식은 평면 위의 두 점 \( p \)와 \( q \)를 직선으로 연결했을 때의 길이, 즉 유클리드 ```거리를 나타낸다.
이 거리 함수는 거리 공간의 세 가지 공리를 모두 만족한다.
- 양의 정부호성: 제곱근의 값은 항상 0 이상이며, \( d(p,q)=0 \)인 경우는 \( p=q \)인 경우뿐이다.
- 대칭성: \( (p_1-q_1)^2=(q_1-p_1)^2 \)이므로 \( d(p,q)=d(q,p) \)가 성립한다. 따라서 점의 순서를 바꾸어도 거리는 변하지 않는다.
- 삼각 부등식: 두 점 ``` 사이의 직선 거리는 언제나 제3의 점을 거쳐 이동한 거리의 합보다 작거나 같다. 이는 피타고라스 정리와 유클리드 기하학의 성질을 이용해 확인할 수 있다.
따라서 유클리드 거리 \( d \)를 사용하는 공간 \( (\mathbb{R}^2, d) \)는 거리 공간의 대표적인 예가 된다.
거리 함수(계량)
거리 함수란 무엇인가?
거리 함수(또는 계량)는 다음 조건을 만족하는 함수 \( d(x_1,x_2) \)이다.
\( d(x_1, x_2) \geq 0 \)
\( d(x_1, x_2) = 0 \) if and only if \( x_1 = x_2 \)
\( d(x_1, x_2) = d(x_2, x_1) \)
\( d(x_1, x_2) \leq d(x_1, x_3) + d(x_3, x_2) \)
여기서 \( x_1, x_2, x_3 \)는 모두 집합 \( X \)의 원소이다.
거리의 종류
거리 함수는 하나만 존재하는 것이 아니다. 목적과 상황에 따라 서로 다른 거리 함수를 사용할 수 있다.
유클리드 거리
$$ d_2(x, y) := \sqrt{ \sum{(x_i - y_i)^2 } } $$
가장 널리 사용되는 거리로, 유클리드 기하학의 기본이 되는 거리 함수이다.
맨해튼 거리
맨해튼 거리는 택시 기하학(Taxicab geometry)에서 사용되는 대표적인 거리이다. 도시의 바둑판 모양 도로처럼 대각선으로 이동할 수 없고 가로와 세로 방향으로만 이동한다고 가정하기 때문에 이러한 이름이 붙었다.
$$ d_1(x_1, x_2) := \sum{ |x_i - y_i| } $$
이산 거리
이산 거리에서는 두 점이 같으면 거리는 0이고, 서로 다른 두 점이면 거리는 항상 1이다.
$$ d(x, y) := \begin{cases} 0 \:\:\: if \: x = y \\ 1 \:\:\: if \: x \ne y \end{cases} $$
노름이 유도하는 거리
노름(norm)이 정의된 벡터 공간에서는 그 노름을 이용해 자연스럽게 거리 함수를 정의할 수 있다.
이처럼 노름으로부터 정의되는 거리를 유도 거리(induced metric) 또는 노름이 유도하는 거리라고 한다.
$$ ||v|| := d(v, 0_V) $$
즉, 벡터의 노름은 원점 \(0_V\)으로부터 해당 벡터까지의 거리와 같다.
따라서 벡터 공간에 노름이 정의되어 있으면, 그 공간은 항상 거리 공간이 된다.
참고. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 모든 거리 함수가 어떤 노름으로부터 유도되는 것은 아니다.
유도 거리의 성질
거리 함수 \(d\)가 어떤 노름으로부터 유도되기 위해서는 다음 두 조건을 만족해야 한다.
\( d(v_1 + v_3, v_2 + v_3) = d(v_1, v_2) \)
\( d(k \cdot v_1, k \cdot v_2) = |k| \cdot d(v_1, v_2) \)
여기서 \(v_1, v_2, v_3\)는 벡터 공간 \(V\)의 벡터이고, \(k\)는 체 \(K\)에 속하는 스칼라이다.
예제
유클리드 노름이 실제로 유클리드 거리를 유도한다는 사실을 직접 확인해 보자. 이를 위해 위의 두 조건이 모두 성립하는지 차례대로 검토한다.
먼저 유클리드 공간에서 다음 세 벡터를 생각하자.
$$ v_1 = (6,8) \\ v_2 = (3,4) \\ v_3 = (3,0) $$
각 벡터의 유클리드 노름은 다음과 같다.
$$ ||v_1||_2 = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 $$ $$ ||v_2||_2 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 $$ $$ ||v_3||_2 = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 $$
따라서 원점으로부터의 거리는 다음과 같이 표현된다.
$$ ||v_1||_2 = d(v_1,0_V)=10 $$ $$ ||v_2||_2 = d(v_2,0_V)=5 $$ $$ ||v_3||_2 = d(v_3,0_V)=3 $$
정의에 따르면 $$ ||v|| = d(v,0_V) $$ 가 성립하려면 다음 두 조건을 모두 만족해야 한다.
1] \( d(v_1+v_3,v_2+v_3)=d(v_1,v_2) \)
2] \( d(kv_1,kv_2)=|k|\,d(v_1,v_2) \)
이제 각각의 조건을 확인해 보자.
첫 번째 조건
먼저 두 벡터에 같은 벡터 \(v_3\)를 더했을 때 두 벡터 사이의 거리가 그대로 유지되는지 확인한다.
$$ v_1+v_3=(6,8)+(3,0)=(9,8) $$ $$ v_2+v_3=(3,4)+(3,0)=(6,4) $$
따라서 확인해야 할 식은 다음과 같다.
$$ d(v_1+v_3,v_2+v_3)=d(v_1,v_2) $$
좌변을 계산하면
$$ d((9,8),(6,4))=\sqrt{(9-6)^2+(8-4)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5 $$
우변은
$$ d((6,8),(3,4))=\sqrt{(6-3)^2+(8-4)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5 $$
따라서
$$ d(v_1+v_3,v_2+v_3)=d(v_1,v_2)=5 $$
즉, 첫 번째 조건이 만족된다.
두 번째 조건
이번에는 두 벡터를 같은 스칼라로 곱했을 때 거리가 스칼라의 절댓값만큼 커지는지 확인해 보자.
$$ d(kv_1,kv_2)=|k|\,d(v_1,v_2) $$
\(k=2\)라고 하면
$$ 2v_1=(12,16) $$ $$ 2v_2=(6,8) $$
좌변은
$$ d((12,16),(6,8))=\sqrt{(12-6)^2+(16-8)^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10 $$
우변은
$$ |2|\,d((6,8),(3,4))=2\cdot5=10 $$
따라서
$$ d(2v_1,2v_2)=|2|\,d(v_1,v_2)=10 $$
즉, 두 번째 조건도 만족된다.
이로써 유클리드 공간에서의 유클리드 거리는 유클리드 노름으로부터 유도된 거리임을 확인할 수 있다.
추가 설명
거리 공간을 이해하는 데 도움이 되는 관련 개념들을 함께 살펴보자.
- 거리 공간에서의 유계 집합
거리 공간 \((X,d)\)에서 부분집합 \(A\subseteq X\)가 유계(bounded)라는 것은 어떤 양의 실수 \(\mu>0\)와 한 점 \(x_0\in X\)가 존재하여 $$ d(x,x_0)\le\mu \quad \text{for all }x\in A $$ 를 만족하는 경우를 말한다. 즉, 집합 \(A\)의 모든 점이 중심이 \(x_0\)이고 반지름이 \(\mu\)인 하나의 열린 공 또는 닫힌 공 안에 포함될 수 있다는 뜻이다. 다시 말해, 집합 전체를 유한한 반지름을 가진 하나의 공 안에 담을 수 있다면 그 집합은 유계이다.거리 위상에서 유계성은 집합이 열린집합인지 닫힌집합인지와는 관계가 없다. 유계 여부는 오직 거리 함수가 정의하는 거리만으로 결정된다.
- 유계 거리(Bounded Metric)
거리 공간 \((X,d)\)에서 전체 공간 \(X\) 자체가 유계이면, 거리 함수 \(d\)를 유계 거리라고 한다. - 거리로부터 유도되는 위상의 기저 정리
거리 공간 \((X,d)\)에서는 모든 열린 공의 모임 $$ \mathcal{B}=\{B_d(x,\varepsilon)\mid x\in X,\varepsilon>0\} $$ 이 \(X\) 위의 위상을 생성하는 기저가 된다. - 거리 공간에서의 연속성 정리
두 거리 공간 \((X,d_X)\), \((Y,d_Y)\) 사이의 함수 \(f:X\rightarrow Y\)가 연속이라는 것은, 임의의 \(x\in X\)와 임의의 \(\varepsilon>0\)에 대해 적절한 \(\delta>0\)가 존재하여 $$ d_X(x,x')<\delta $$ 이면 항상 $$ d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon $$ 가 성립한다는 뜻이다. - 모든 거리 공간은 하우스도르프 공간이다
모든 거리 공간은 하우스도르프 공간이다. 반대로 하우스도르프 공간이 아닌 위상공간은 어떤 거리 함수로도 유도될 수 없다.참고. 하우스도르프 공간이란 서로 다른 두 점을 서로소인 열린 근방으로 분리할 수 있는 위상공간을 말한다.
이 밖에도 거리 공간에는 다양한 중요한 개념과 정리들이 있으며, 위상수학과 해석학을 이해하는 데 핵심적인 역할을 한다.
