실수 집합의 표준 위상

표준 위상은 실수 집합 \( \mathbb{R} \)에서 a < b 인 모든 열린 구간 (a, b)과, 그러한 구간들의 유한 또는 무한한 합집합을 열린 집합으로 정의한다.

즉, 집합 U가 열린 집합이 되기 위해서는 U 안의 모든 점 x에 대해, x를 포함하면서 동시에 U의 부분집합인 열린 구간 (a, b)가 존재해야 한다.

$$ x \in (a,b) \subseteq U $$

다시 말해, 열린 집합 U의 각 원소 x는 U에 완전히 포함된 어떤 열린 구간 (a, b) 안에 속해야 한다.

따라서 표준 위상에서는 다음과 같은 집합들이 열린 집합으로 간주된다.

• 열린 구간
  실수 \( \mathbb{R} \) 위의 표준 위상에서 열린 집합은 a < b 인 열린 구간 \( (a, b) \)이며, 이들 열린 구간의 유한하거나 무한한 합집합도 열린 집합으로 인정된다.
• 집합 연산
  열린 집합에는 열린 집합들의 합집합과 유한한 교집합도 포함된다.
  • 합집합: 크기에 관계없이 임의의 열린 집합들의 합집합은 항상 열린 집합이다.
  • 유한 교집합: 유한 개의 열린 집합들의 교집합 역시 열린 집합으로 간주된다.

표준 위상은 여러 위상 중 하나이지만, 그 중요성과 활용 범위 덕분에 "표준 위상"이라는 이름으로 불린다.

특히 실수 직선 \( \mathbb{R} \)에서는 거리감, 개방성, 연속성과 같은 직관적인 개념을 가장 잘 표현하기 때문에 수학 전반에서 널리 사용된다.

참고: 실수 \( \mathbb{R} \)이나 다른 집합 위에 정의된 위상은 서로 다른 기저를 가질 수 있으며, 이로 인해 열린 집합의 성질이 표준 위상과 달라질 수 있다. 이러한 위상들은 보통 새로운 성질을 탐구하거나 수학적 개념을 확장하기 위해 사용된다.

예시로 살펴보기

실수 직선 \( \mathbb{R} \) 위의 표준 위상은 a < b 인 모든 열린 구간 (a, b)으로 구성된다.

$$ B = \{ (a,b) \subset; R \ | \ a \lt b \} $$

이 위상의 핵심적인 특징은, 임의의 구간 안의 한 점 x에 대해 그 점을 중심으로 한 더 작은 열린 구간이 존재하며, 이 구간이 원래 구간 안에 완전히 포함된다는 점이다. 이것이 바로 표준 위상에서 열린 집합의 정의를 충족시키는 방식이다.

$$ \forall \ x \ \in U \ \exists \ \epsilon>0 \ | \ x \in (x-\epsilon, x+\epsilon) \subseteq U $$

여기서 U는 실수 집합 \( \mathbb{R} \)의 표준 위상에서 열린 집합이다.

이 위상은 실수 직선에서 가장 기본적이고 자주 사용되는 구조이기 때문에 "표준 위상"이라 불린다.

예시 2

이제 0과 1을 제외한 열린 구간 (0,1)에 표준 위상을 적용해 보자.

이 구간 (0,1)이 위상공간의 조건을 만족하는지 확인해 보겠다.

부분집합 \( U \subset (0, 1) \)이 (0,1) 위의 열린 집합이 되려면, 모든 점 \( x \in U \)에 대해 \( \mathbb{R} \)의 열린 구간 \( (a, b) \)이 존재하고, \( x \in (a, b) \)이며 \( (a, b) \cap (0, 1) \subseteq U \)를 만족해야 한다.

하지만 (0,1)은 실수 \( \mathbb{R} \)의 표준 위상에서 열린 집합들의 교집합으로 나타낼 수 있으므로, 이러한 조건을 자연스럽게 충족한다.

따라서 구간 \( (0, 1) \)은 실수 \( \mathbb{R} \)의 표준 위상에 의해 유도된 위상을 갖는 위상공간이다.

예를 들어, \( (0.1, 0.5) \), \( (0.2, 0.9) \), 또는 이들의 합집합인 \( (0.1, 0.5) \cup (0.6, 0.8) \) 등은 모두 (0,1) 위의 유도 위상에서 열린 집합에 해당한다. 즉, (0,1) 안의 열린 집합은 실수 \( \mathbb{R} \)의 열린 집합 중 (0,1) 내부에 완전히 포함된 것들이다.

결국 \( (0, 1) \)은 \( \mathbb{R} \)의 유도 위상에서도 위상공간의 기본 성질을 그대로 유지한다.

예시 3

이제 세 개의 정수로 구성된 유한 집합 X = {1, 2, 3}을 생각해 보자.

이 집합이 실수 집합 \( \mathbb{R} \)의 표준 위상에서 위상공간이 될 수 있는지 살펴보자.

X의 개별 원소들은 열린 집합으로 간주되지 않는다. 그 이유는 실수 \( \mathbb{R} \)의 표준 위상이 열린 구간을 기저로 하기 때문에, 이러한 구조가 유한 집합 X에는 직접적으로 적용되지 않기 때문이다.

예를 들어, X의 원소 {2}를 실수의 한 점으로 본다면, 이 점은 열린 구간 (2-ε, 2+ε) 안에 포함되지만, 이 구간의 다른 점들은 X에 속하지 않는다. 따라서 실수 \( \mathbb{R} \)의 표준 위상에서 열린 집합의 정의를 충족하지 않는다.

집합 \( X \)를 \( \mathbb{R} \)의 부분집합으로 보고 "유도 위상(subspace topology)"을 적용하면, 열린 집합은 공집합과 X 자신뿐이므로 위상적으로 흥미로운 구조는 형성되지 않는다.

따라서 X와 같은 유한 집합에 위상공간을 정의할 때는, 모든 부분집합을 열린 집합으로 규정하는 이산 위상(discrete topology)을 사용하는 것이 일반적이다.

이와 같이 표준 위상은 실수 공간의 개념을 이해하는 기초가 되며, 다양한 위상 구조를 탐구하는 출발점이 된다.