지정점 위상

지정점 위상이란, 집합 X에서 하나의 점 p를 지정했을 때, 공집합이거나 그 점 p를 포함하는 모든 부분집합으로 이루어진 집합족을 말한다.

따라서 이 위상에는 공집합, 전체 집합 X, 그리고 점 p를 포함하는 모든 부분집합이 포함된다.

이 위상은 고정점 위상(fixed-point topology)이라고도 한다.

참고. 지정점 위상 역시 위상의 기본 공리를 충족해야 한다. 즉, 공집합과 전체 집합을 포함하며, 임의의 부분집합족의 합집합과 유한 개의 부분집합들의 교집합에 대해 닫혀 있어야 한다.

예시

집합 X={a,b,c}에서 지정점을 "a"로 정하자. 지정점 위상을 구성하려면 공집합 ∅, 전체 집합 X, 그리고 점 "a"를 포함하는 X의 모든 부분집합을 포함해야 한다.

• 공집합: ∅
• 전체 집합: X={a,b,c}
• "a"를 포함하는 부분집합: {a}, {a,b}, {a,c}

따라서 X에서 지정점이 "a"인 지정점 위상은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ T=\{ ∅, \{ a \}, \{ a,b \}, \{ a,c \}, \{a,b,c \} \} $$

이 집합족은 위상의 공리 조건을 만족한다. 공집합과 전체 집합을 포함하며, 합집합과 유한 교집합 연산에 대해 닫혀 있다.

• T의 모든 집합은 공집합을 제외하면 지정점 "a"를 포함하므로, 이들 집합의 임의의 합집합도 "a"를 포함하게 되어 T에 속한다.
• 또한 공집합을 제외한 T의 모든 집합이 "a"를 포함하므로, 유한 개의 교집합(단, 공집합과의 교집합은 제외)은 항상 적어도 "a"를 포함한다.

이처럼 지정점 위상은 단순하면서도 위상의 기본 성질을 잘 보여주는 대표적인 예로, 위상공간 개념을 이해하는 데 유용하다.