몫위상에서 열린집합의 합집합

몫위상(quotient topology) $ Q $에서 열린집합들의 족(family) $ \{U_i\} $가 주어졌다고 하자. 이때 이들의 합집합에 대한 원상(inverse image)은 각 집합의 원상들의 합집합과 일치한다. 또한 각 원상은 원래의 위상공간 $ X $에서 열린집합이다. $$ p^{-1}( \bigcup U_i ) = \bigcup p^{-1}(U_i) $$ 따라서 열린집합들의 임의의 합집합 역시 몫위상에서 열린집합이 된다.

예를 통해 살펴보기

이 성질이 실제로 어떻게 작동하는지 이해하기 위해 대표적인 몫공간인 $ \mathbb{R}/\mathbb{Z} $를 살펴보자.

실수 전체의 집합 $ \mathbb{R} $에 대해 사상 $ p:\mathbb{R}\to\mathbb{R}/\mathbb{Z} $를 정의하자. 이 사상은 각 실수를 1을 법으로 하는 동치류로 보낸다.

직관적으로 말하면, 각 실수는 자신의 소수 부분에 대응된다. 예를 들어 0.3, 1.3, 2.3, 3.3 등은 모두 같은 점으로 간주되며, 몫공간에서는 모두 0.3에 대응된다.

실수 직선을 원으로 대응시키는 몫사상의 예

이렇게 보면 몫공간 $ Q=\mathbb{R}/\mathbb{Z} $는 구간 [0,1)의 양 끝점을 서로 붙여 만든 원(circle)과 같은 위상적 구조를 갖는다.

이제 $ Q=\mathbb{R}/\mathbb{Z} $에서 다음 두 열린집합을 생각해 보자.

$ U_1=(0.1,0.4) $
$ U_2=(0.6,0.8) $

이들은 몫공간 $ Q $의 열린집합들이다.

먼저 각각의 원상을 구해 보자.

$ U_1 $의 원상은 다음과 같다. \[ p^{-1}(U_1)=(0.1,0.4)\cup(1.1,1.4)\cup(2.1,2.4)\cup\dots \]
$ U_2 $의 원상은 다음과 같다. \[ p^{-1}(U_2)=(0.6,0.8)\cup(1.6,1.8)\cup(2.6,2.8)\cup\dots \]

이제 $ U_1 $과 $ U_2 $의 합집합을 생각하면

$$ U_1\cup U_2=(0.1,0.4)\cup(0.6,0.8) $$

가 된다.

몫위상의 정의에 따라 이 합집합의 원상은 다음과 같다.

$$ p^{-1}(U_1\cup U_2)=p^{-1}(U_1)\cup p^{-1}(U_2) $$

따라서

$$ p^{-1}(U_1\cup U_2)=(0.1,0.4)\cup(0.6,0.8)\cup(1.1,1.4)\cup(1.6,1.8)\cup\dots $$

를 얻는다.

이 집합은 실수공간 $ \mathbb{R} $에서 열린구간들의 합집합으로 이루어져 있으므로 분명히 열린집합이다.

따라서 $ U_1\cup U_2 $ 역시 몫공간 $ A=\mathbb{R}/\mathbb{Z} $의 몫위상에서 열린집합임을 알 수 있다.

이 예는 몫위상에서 열린집합들의 합집합이 왜 다시 열린집합이 되는지를 구체적으로 보여 준다. 일반적으로도 열린집합들의 임의의 합집합은 몫위상에서 항상 열린집합이다.