제외된 점 위상 (Excluded Point Topology)
제외된 점 위상은 집합 X에서 특정한 한 점 p를 미리 정해 제외하고, 그 점을 포함하지 않는 부분집합들을 열린집합으로 삼아 정의하는 특별한 위상 구조다.
이 위상에서 열린집합으로 간주되는 부분집합들은 다음과 같다.
- 공집합 (Ø)
- 집합 X 전체
- 제외된 점 p를 포함하지 않는 X의 모든 부분집합
즉, 제외된 점 위상에서는 X 전체나 공집합, 또는 선택한 점 p를 포함하지 않는 부분집합만이 열린집합으로 정의된다.
이 정의는 위상의 세 가지 기본 조건, 즉 공집합과 전체집합의 포함, 임의 합집합에 대한 닫힘, 유한 교집합에 대한 닫힘을 모두 만족하므로 집합 위의 위상으로 성립한다.
참고. 이 위상의 핵심은 하나의 점을 의도적으로 제외함으로써 위상 공간의 구조를 달리 구성한다는 데 있다. 이로 인해 일반적인 위상에서는 보기 어려운 독특하고 흥미로운 성질이 나타난다.
예시로 살펴보기
다음과 같이 세 개의 원소로 이루어진 집합 X를 생각해보자.
$$ X = \{a, b, c\}$$
이제 제외할 점을 \(p = a\)로 정한다.
점 p를 제외하여 X 위에 제외된 점 위상을 정의하면, 열린집합으로 포함되어야 하는 부분집합은 다음과 같다.
- 공집합 Ø
- 집합 X 전체, 즉 X = {a, b, c}
- 점 “a”를 포함하지 않는 부분집합들, 즉 {b}, {c}, {b, c}
따라서 X 위의 제외된 점 위상은 다음과 같이 표현된다.
$$ T = \{\emptyset, \{a, b, c\}, \{b\}, \{c\}, \{b, c\}\} $$
이 집합족 \(T\)는 위상의 세 가지 공리를 모두 만족한다.
- 합집합에 대해 닫혀 있다.
예: \(\{b\} \cup \{c\} = \{b, c\}\), \(\{b\} \cup \emptyset = \{b\}\). 두 경우 모두 T의 원소이다.
- 교집합에 대해서도 닫혀 있다.
예: \(\{b\} \cap \{c\} = \emptyset\), \(\{b, c\} \cap \{b\} = \{b\}\). 역시 두 경우 모두 T의 원소이다.
- 공집합 \(\emptyset\)과 전체집합 X는 이미 T에 포함되어 있다.
이 위상은 한 점을 제외하는 단순한 규칙을 통해, 동일한 집합 X에서도 ‘열림’의 개념이 어떻게 달라질 수 있는지를 보여주는 좋은 예다. 이러한 구조는 위상수학에서 비표준적 공간을 탐구할 때 자주 인용되는 기본 사례로, 공간의 성질을 이해하는 데 중요한 통찰을 제공한다.
