조밀 집합 (위상수학)

위상공간 X에서 부분집합 A가 조밀 집합이라고 하는 것은, 그 폐포가 X 전체와 일치할 때를 의미한다. $$ Cl(A)=X $$

쉽게 말해, 조밀 집합은 공간의 어느 지점을 보더라도 그 주변에서 반드시 만나게 되는 집합이다. 즉, 공간의 모든 점은 A에 속하거나, 아니면 A의 점들로 임의로 가깝게 접근할 수 있는 극한점이다.

A의 폐포는 A에 속한 점들과 그 극한점을 모두 포함하는 가장 작은 닫힌 집합이다.

대표적인 예시

예제 1

실수 집합 $ \mathbb{R} $에 표준 위상을 고려하면, 유리수 집합 $ \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $은 조밀 집합이다.

그 이유는 임의의 두 실수 사이에는 항상 유리수가 존재하기 때문이다. 따라서 어떤 실수든 유리수를 이용해 원하는 만큼 가깝게 근사할 수 있다.

이 경우 유리수 집합의 폐포는 전체 공간과 정확히 일치한다.

$$ Cl ( \mathbb{Q} ) = \mathbb{R} $$

따라서 $ \mathbb{Q} $는 조밀 집합이다.

Note. 같은 이유로, 무리수 집합 $ \mathbb{I} \subset \mathbb{R} $ 역시 조밀 집합이다. 모든 실수는 무리수를 통해서도 임의로 가깝게 근사할 수 있으므로, 무리수 집합의 폐포 역시 전체 공간과 일치한다. $$ Cl ( \mathbb{I} ) = \mathbb{R} $$

예제 2

$ \mathbb{R} $ 위에 유한 여집합 위상을 고려하면, 집합 $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $은 조밀 집합이다.

이 위상에서는 어떤 집합이 열린 집합이 되려면, 그 여집합이 유한 집합이어야 한다.

$ \mathbb{R} \setminus \{0\} $의 여집합은 \{ 0 \} 하나뿐이므로, 이는 열린 집합이다.

이 집합의 폐포를 생각해 보면, 빠져 있는 점 0을 다시 추가하면 전체 집합 $ \mathbb{R} $이 된다.

따라서 이를 포함하는 닫힌 집합은 결국 $ \mathbb{R} $밖에 없으며, 폐포 역시 전체 공간과 일치한다.

$$ Cl( \mathbb{R} \setminus \{0\} ) = \mathbb{R} $$

결론적으로, $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $은 조밀 집합이다.

Note. 이 예시는 유한 여집합 위상의 특징을 잘 보여준다. 이 위상에서는 모든 무한 집합이 자동으로 조밀해진다. 닫힌 집합이 유한 집합뿐이기 때문에, 어떤 무한 집합을 완전히 포함할 수 있는 닫힌 집합은 전체 집합 $ \mathbb{R} $밖에 없다.

예제 3

$ \mathbb{R} $의 표준 위상에서 열린구간 (0,1)은 조밀 집합이 아니다.

이 구간의 폐포는 양 끝점 0과 1을 포함하는 [0,1]이다. 이는 이 두 점 주변의 어떤 근방도 (0,1)과 교집합을 가지기 때문이다.

하지만 이 폐포는 전체 집합 $ \mathbb{R} $을 덮지 못한다.

따라서 (0,1)은 $ \mathbb{R} $에서 조밀 집합이 아니다.

Note. 그러나 같은 집합이라도 공간을 다르게 보면 결과가 달라진다. 부분공간 [0,1]의 표준 위상에서 보면, (0,1)의 폐포는 정확히 [0,1]이 된다. 따라서 이 경우에는 (0,1)이 [0,1]에서 조밀 집합이 된다. 즉, 조밀성은 어떤 공간을 기준으로 보느냐에 따라 달라지는 개념이다.

이처럼 다양한 예를 통해 조밀 집합의 의미를 보다 직관적으로 이해할 수 있다.