유한 집합에서의 위상의 예
이 글에서는 아주 단순한 집합 위에서 어떤 위상들이 정의될 수 있는지를 단계적으로 살펴본다. 작은 집합을 통해 위상의 개념을 구체적으로 이해하면, 나중에 더 복잡한 위상 공간을 다룰 때 훨씬 직관이 선명해진다.
먼저 다음과 같은 집합을 생각해 보자.
$$ X = \{ a,b \} $$
위상을 정의한다는 것은, 위상의 공리들을 만족하는 열린 집합들의 모임을 찾는 일이다. 즉, 어떤 부분집합들을 "열린 집합"으로 간주할 수 있는지를 결정하는 과정이다.
위상의 정의. 집합 X 위의 위상 T는 X의 부분집합들로 이루어진 모임으로서 다음 조건을 만족한다. ① 공집합 ∅과 전체 집합 X를 포함한다. ② 열린 집합들의 임의의 합집합은 다시 열린 집합이다. ③ 열린 집합들의 유한한 교집합은 다시 열린 집합이다.
이제 집합 X={a,b}의 모든 부분집합, 즉 멱집합을 적어보면 다음과 같다.
$$ P(X) = \{ ∅, \{ a \}, \{ b \}, X \} $$
위상의 정의에 따르면, 어떤 위상이든 항상 공집합 ∅과 전체 집합 X={a,b}를 포함해야 한다.
이제 가능한 모든 위상들을 하나씩 찾아보자.
- 자명 위상(trivial topology): 공집합과 전체 집합만을 포함한다. $$ T_1=\{ ∅, \{a,b \} \} $$
- 자명 위상에 부분집합 {a}를 더한 경우 $$ T_2=\{ ∅, \{ a \} , \{a,b \} \} $$
- 자명 위상에 부분집합 {b}를 더한 경우 $$ T_3=\{ ∅, \{ b \} , \{a,b \} \} $$
- 이산 위상(discrete topology): 가능한 모든 부분집합이 열린 집합인 위상이다. $$ T_4=\{ ∅, \{ a \} , \{ b \} , \{a,b \} \} $$
이 네 가지가 바로 집합 X 위에서 정의될 수 있는 모든 위상이다. 자명 위상은 가장 단순하고 열린 집합의 수가 최소인 위상이며, 이산 위상은 가능한 모든 부분집합을 열린 집합으로 포함하는 가장 세밀한 위상이다.
따라서 두 원소로 이루어진 집합 위에는 총 네 가지 위상이 존재한다는 결론에 이른다.
예 2. 세 원소 집합의 경우
이번에는 세 개의 원소로 구성된 집합을 생각해 보자.
$$ X = \{ a,b,c \} $$
다음과 같은 부분집합들의 모임이 X 위의 위상이 될 수 있을까?
$$ T_3=\{ ∅, \{ a \} , \{ b \} , \{b,c \}, \{a,b,c \} \} $$
먼저 공집합 ∅과 전체 집합 X={1,2,3}이 모두 포함되어 있는지 확인해 보자. 두 집합 모두 존재하므로 첫 번째 조건은 충족한다.
다음으로 합집합에 대해 닫혀 있는지를 점검해 본다. {a} ∪ {b} = {a,b}인데, 이 집합은 T에 포함되어 있지 않다.
$$ \{ a \} \cup \{ b \} = \{a , b\} \ ∉ T $$
따라서 이 조건만으로도 T가 위상이 될 수 없음을 알 수 있다. 교집합에 대한 닫힘 여부는 더 이상 확인할 필요가 없다.
이와 같은 방식으로, 위상 공리를 만족하는지를 단계별로 점검하면 위상 여부를 쉽게 판별할 수 있다.
마지막으로, 열린 동시에 닫힌 집합을 클로펜(clopen)이라 부른다. 비자명한 클로펜 집합이 존재한다면, 그 공간은 비연결 공간(disconnected space)이다.
예를 들어, 부분공간 \( X = (0,1) \cup (2,3) \)은 두 개의 연결 성분(connected components) \( (0,1) \)과 \( (2,3) \)으로 이루어져 있다. 이 두 구간은 서로 겹치지 않는 열린 집합이며, 한쪽의 점을 다른 쪽과 연속적으로 연결할 수 없다는 사실이 비연결성을 보여준다.
