위상수학에서의 집적점

위상공간 $X$에서 점 $x$가 부분집합 $A \subseteq X$의 집적점(accumulation point)이라는 것은, $x$의 모든 근방이 $x$ 자신 이외의 $A$의 점과 교차한다는 뜻이다.

즉, $x$ 주변을 아무리 작게 잡더라도 그 안에는 항상 $x$ 자신이 아닌 $A$의 점이 존재한다.

다르게 말하면, 점 $x$가 집적점이라는 것은 $x$의 모든 근방 $U$에 대해 다음이 성립한다는 뜻이다.

$$ U \cap A \not = \emptyset $$

여기서 중요한 점은, 집적점이 반드시 집합 $A$ 자체에 속할 필요는 없다는 사실이다.

집적점의 개념은 실수 위상공간 $\mathbb{R}$에서는 비교적 직관적으로 이해할 수 있다. 수직선 위에서 점 $x$가 부분집합 $A$의 집적점이라는 것은, $x$의 임의의 근방, 즉 구간 $(x-\epsilon, x+\epsilon)$ 안에 $x$ 자신이 아닌 $A$의 점이 항상 존재한다는 뜻이다.
수직선 위에서의 집적점 예시
위상수학에서는 이 개념을 $n$차원 공간 $\mathbb{R}^n$으로 확장한다. 즉, 점 $x$의 모든 근방이 $x$ 자신 이외의 $A$의 점과 교차하면 $x$는 $A$의 집적점이 된다. 다만 이러한 일반적인 정의는 1차원의 경우처럼 항상 직관적으로 보이지는 않을 수 있다.

구체적인 예시
비고

구체적인 예시

표준위상을 갖는 $\mathbb{R}$의 부분집합 $A$를 다음과 같이 정의하자.

$$ A = \left\{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^+ \right\} $$

즉, 이 집합은 다음과 같은 점들로 이루어진다.

$$ \left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots \right\} $$

이제 $0$이 $A$의 집적점인지 살펴보자.

$0$의 임의의 열린 근방 $U$를 잡으면, 항상 $a < 0 < b$를 만족하는 열린구간 $(a,b)$를 포함하게 된다.

$\frac{1}{n}$은 $n$이 무한대로 갈수록 $0$으로 수렴하므로, 충분히 큰 $n$에 대해서는 어떤 $\frac{1}{n}$이든 반드시 구간 $(a,b)$ 안에 들어간다.

따라서 $0$의 모든 근방은 $0$ 이외의 적어도 하나의 점에서 $A$와 교차한다.

결론적으로, $0$은 집합 $A$의 집적점이다.

집적점의 예시

예제 2

이번에는 다음 집합 $B$를 생각해 보자.

$$ B = \left\{ n + \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^+ \right\} $$

이 집합은 다음과 같은 점들을 포함한다.

$$ \left\{2, 2.5, 3.333\ldots, \ldots \right\} $$

이제 점 $1$이 집적점인지 확인해 보자.

$1$의 임의의 열린 근방 $U$는 항상 열린구간 $(a,b)$를 포함한다.

하지만 $B$의 모든 원소는 $1$보다 크다.

따라서 $1$ 주변을 충분히 작게 잡으면, 그 근방 안에는 $B$의 점이 전혀 존재하지 않게 된다.

즉, $1$의 모든 근방이 $B$와 교차하는 것은 아니므로, $1$은 $B$의 집적점이 아니다.

예제 3

이제 표준위상을 갖는 $\mathbb{R}$의 부분집합 $(0,1]$을 생각하자.

목표는 이 집합의 모든 집적점을 구하는 것이다.

정의에 따르면, 점 $x$가 $(0,1]$의 집적점이라는 것은 $x$의 모든 근방이 $x$ 자신 이외의 점에서 $(0,1]$과 교차한다는 뜻이다.

(0,1] 내부의 점들
임의의 $x \in (0,1]$에 대해, $x$의 모든 근방은 열린구간 $(a,b)$의 형태를 가진다.
그리고 $x$는 구간 $(0,1]$ 안에 있으므로, 이러한 근방 안에는 항상 $x$ 자신 이외의 $(0,1]$의 점들이 존재한다.
따라서 모든 $x \in (0,1]$은 집적점이다.
(0,1]의 경계점
이제 경계점 $0$과 $1$을 살펴보자.

- 점 $0$:
$0$의 모든 근방은 $a < 0 < b$를 만족하는 열린구간 $(a,b)$를 포함한다.
비록 $0$ 자체는 $(0,1]$에 속하지 않지만, 충분히 작은 양의 실수들은 모두 $(0,1]$에 포함된다.
따라서 $0$의 모든 근방은 $(0,1]$과 교차하므로, $0$은 집적점이다.

- 점 $1$:
$1$의 모든 근방 역시 열린구간 $(a,b)$를 포함한다.
이 경우 $1$보다 조금 작은 실수들이 항상 $(0,1]$에 속하므로, 모든 근방은 $(0,1]$과 교차한다.
따라서 $1$ 역시 집적점이다.
[0,1] 밖의 점들
이제 $x \notin [0,1]$인 경우를 생각해 보자.
만약 $x < 0$ 또는 $x > 1$이라면, $(0,1]$과 전혀 교차하지 않는 근방을 항상 찾을 수 있다.
예를 들어 $x < 0$인 경우에는, $(0,1]$과 교차하지 않을 만큼 충분히 작은 $\epsilon$을 선택하여 구간 $(x-\epsilon, x+\epsilon)$을 잡을 수 있다. 마찬가지로 $x > 1$인 경우에도 $(0,1]$과 겹치지 않는 근방을 만들 수 있다. 따라서 $[0,1]$ 밖의 점들은 집적점이 아니다.

따라서 표준위상을 갖는 $\mathbb{R}$에서 집합 $(0,1]$의 집적점은 닫힌구간 $[0,1]$ 전체가 된다.

예제 4

이번에는 $\mathbb{R}$ 위의 하한위상(lower limit topology)에서 $A=(0,1]$의 집적점을 구해 보자.

$\mathbb{R}$ 위의 하한위상은 $a < b$인 반열린구간 $[a,b)$들로 생성된다. 따라서 이 위상에서의 열린집합은 이러한 구간들의 임의의 합집합으로 이루어진다.

집적점의 정의 자체는 동일하다. 즉, 점 $x$의 모든 근방이 $x$ 자신 이외의 $A$의 점을 포함하면 $x$는 집적점이다.

이제 각 경우를 살펴보자.

점 $x \in (0,1)$
근방 $[x,x+\epsilon)$은 항상 $A$의 다른 점들을 포함한다. 따라서 $x$는 집적점이다.
점 $x = 1$
하한위상에서 $1$의 기본근방은 $[1,1+\epsilon)$의 형태를 가진다.
하지만 이러한 근방은 $1$ 자신 외에는 $A$의 점을 포함하지 않는다.
따라서 $1$은 집적점이 아니다.
점 $x = 0$
모든 근방 $[0,0+\epsilon)$은 양의 실수들을 포함하므로 $A$와 교차한다.
따라서 $0$은 집적점이다.
점 $x < 0$ 또는 $x > 1$
이러한 점들에 대해서는 $A$와 전혀 교차하지 않는 근방을 만들 수 있다.
따라서 이 점들은 집적점이 아니다.

결론적으로, 하한위상에서 $A=(0,1]$의 집적점 집합은 $[0,1)$이다.

비고

집적점과 관련된 중요한 성질들을 정리하면 다음과 같다.

집합의 폐포는 집합 자체와 집적점들의 합집합이다
위상공간 $X$에서 부분집합 $A$의 폐포는 $A$와 집적점들의 집합 $A'$를 합친 것이다. $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$ 즉, 폐포 $\text{Cl}(A)$는 집합 $A$의 원소들과 모든 집적점을 포함한다.
수열은 집적점으로 수렴할 수 있다
$A$가 표준위상을 갖는 위상공간 $X=\mathbb{R}$의 부분집합이고, $x$가 $A$의 집적점이라면, $x$로 수렴하는 수열 $x_i \in X$를 구성할 수 있다. 이때 집적점은 반드시 $A$에 속할 필요는 없다.
극한의 유일성
표준위상에서는 하나의 수열이 어떤 점 $x$로 수렴한다면 그 극한은 유일하다. 그러나 이러한 성질은 사용하는 위상에 따라 달라질 수 있으며, 모든 위상공간에서 성립하는 것은 아니다.

이 밖에도 집적점과 관련된 다양한 정리와 성질들이 존재한다.