위상수학에서의 매장

위상수학에서 매장(embedding)이란 두 위상공간 \( X \)와 \( Y \) 사이의 연속 단사 함수 \( f: X \rightarrow Y \)로서, \( X \)와 그 상 \( f(X) \) 사이에 위상동형을 유도하는 함수를 말한다. 이때 \( f(X) \)에는 \( Y \)로부터 유도되는 부분공간 위상이 주어진다.

즉, 매장은 다음 세 가지 조건을 모두 만족해야 한다.

1. 함수 \( f \)는 연속이다.
2. 함수 \( f \)는 단사이다. 즉, \( X \)의 서로 다른 두 점이 \( Y \)의 같은 점으로 대응되지 않는다.
3. \( f(X) \)에서 \( X \)로 가는 역함수는, \( f(X) \)의 부분공간 위상에 대해 연속이다.

다시 말해, 매장은 \( X \)의 위상적 구조를 \( Y \) 안의 부분공간 \( f(X) \)에 그대로 보존하는 함수이다. 따라서 \( f(X) \)는 \( Y \)의 부분공간, 즉 \( f(X) \subset Y \)로 간주할 수 있다.

구체적인 예

다음과 같은 두 위상공간을 생각해 보자.

• 공간 \( X \)
  집합 \( X = \{a, b, c\} \)에 위상 \( \mathcal{T}_X = \{\emptyset, \{a\}, \{a, b\}, X\} \)를 부여한다. 이 위상은 \( X \)의 열린집합을 정의한다.
• 공간 \( Y \)
  집합 \( Y = \{1, 2, 3, 4\} \)에 위상 \( \mathcal{T}_Y = \{\emptyset, \{1\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}, Y\} \)를 부여한다. 이 위상은 \( Y \)의 열린집합을 정의한다.

이제 함수 \( f: X \rightarrow Y \)를 다음과 같이 정의하자.

$$ f(a) = 1 \\ f(b) = 2 \\ f(c) = 3 $$

이 함수가 매장의 조건을 만족하는지 하나씩 확인해 보자.

1] 함수 \( f \)의 연속성

함수 \( f: X \rightarrow Y \)가 연속이라는 것은(열린집합을 이용한 연속성의 정의 참조), \( Y \)의 모든 열린집합의 원상이 \( X \)에서도 열린집합이라는 뜻이다. 즉, 모든 원상이 위상 \( \mathcal{T}_X \)에 속해야 한다.

• \( f^{-1}(\emptyset)=\emptyset \in \mathcal{T}_X \)
• \( f^{-1}(\{1\})=\{a\}\in\mathcal{T}_X \)
• \( f^{-1}(\{1,2\})=\{a,b\}\in\mathcal{T}_X \)
• \( f^{-1}(\{1,2,3\})=X\in\mathcal{T}_X \)
• \( f^{-1}(Y)=X\in\mathcal{T}_X \)

따라서 \( \mathcal{T}_Y \)의 모든 열린집합의 원상이 \( \mathcal{T}_X \)에서 열린집합이므로, 함수 \( f \)는 연속이다.

2] 단사성

함수 \( f \)는 \( X \)의 각 원소를 \( Y \)의 서로 다른 원소에 대응시키므로 단사이다.

$$ f(a)=1 \\ f(b)=2 \\ f(c)=3 $$

3] 역함수의 연속성

먼저 \( f \)의 상을 구하면 다음과 같다.

$$ f(X)=\{1,2,3\}\subset Y $$

이 부분집합에 부여되는 부분공간 위상은 다음과 같다.

$$ \mathcal{T}_{f(X)} = \{ \emptyset,\, \{1\},\, \{1,2\},\, \{1,2,3\} \} $$

이제 상에 제한된 역함수

$$ f^{-1}:f(X)\rightarrow X $$

가 연속인지 확인해 보자. 이를 위해서는 \( \mathcal{T}_X \)의 각 열린집합의 원상이 \( \mathcal{T}_{f(X)} \)에서 열린집합인지 확인하면 된다.

• \( \emptyset \)의 원상은 \( \emptyset \)이며 열린집합이다.
• \( \{a\} \)의 원상은 \( \{1\} \)이며 열린집합이다.
• \( \{a,b\} \)의 원상은 \( \{1,2\} \)이며 열린집합이다.
• \( X \)의 원상은 \( \{1,2,3\} \)이며 열린집합이다.

따라서 상 \( f(X) \)에 제한된 역함수 \( f^{-1} \)도 연속이다.

결론적으로 함수 \( f \)는 \( X \)와 \( f(X) \) 사이의 매장이다. 연속성, 단사성, 그리고 역함수의 연속성이라는 세 가지 조건을 모두 만족하기 때문이다.

\( f(X)=\{1,2,3\} \)은 \( Y \) 전체는 아니지만, 그 안에서는 \( X \)의 위상적 구조가 완전히 보존된다.

매장과 위상동형의 차이

매장과 위상동형은 모두 위상적 구조를 보존하는 함수이지만, 적용되는 범위에는 중요한 차이가 있다.

• 위상동형
  위상동형은 \( X \)와 \( Y \) 사이의 전단사 함수이며, 두 공간 전체의 위상적 구조를 완전히 보존한다.
• 매장
  매장은 \( X \)를 \( Y \) 안으로 사상하는 함수이다. 이 경우 \( X \)의 위상적 구조는 \( Y \) 전체가 아니라 부분공간인 \( f(X) \)에서만 보존된다.

즉, 위상동형은 두 공간 전체가 서로 같은 위상적 구조를 가진다는 것을 의미하는 반면, 매장은 \( X \)가 \( Y \)의 한 부분공간으로 자연스럽게 포함되며 그 안에서 원래의 위상적 구조를 그대로 유지함을 의미한다.

이와 같은 개념은 다양체, 기하학, 미분위상수학 등 여러 분야에서 중요한 역할을 한다.