상한위상(Upper Limit Topology)

상한위상은 (a, b] 형태의 오른쪽 반열린 구간(right semi-open interval)들을 기본 단위로 삼는 위상이다. 여기서 a < b이며, 이러한 구간들의 임의의 합집합이 열린 집합으로 정의된다.

즉, 상한위상에서 어떤 구간이 열린 집합이 되려면 오른쪽 끝점(상한)은 포함하고 왼쪽 끝점(하한)은 포함하지 않아야 한다. 이 점이 일반적인 열린 구간 (a, b)과 구별되는 핵심이다.

형식적으로, 상한위상의 기저(basis)는 다음과 같이 정의된다.

$$ B = \{ (a,b] \subset R \ | \ a \lt b \} $$

이 기저의 특징은 각 구간이 상한을 포함한다는 데 있다. 이러한 정의로 인해 상한위상은 다른 위상들과 구분되는 고유한 성질을 갖는다.

참고. 반대로, 하한위상(lower limit topology)에서는 [a,b) 형태의 구간이 열린 집합으로 쓰이며, 하한을 포함한다. 두 위상을 비교하면, 어떤 끝점을 포함하느냐에 따라 '열림(open)'이라는 개념의 의미가 달라진다는 사실을 확인할 수 있다.

상한위상은 위상수학에서 기초 개념의 작은 차이가 전체 구조의 성질을 완전히 바꿀 수 있음을 보여주는 좋은 예이다. 이 위상은 위상공간을 이해하는 데 있어 중요한 통찰을 제공한다.

예시로 살펴보기

실수 집합 R 위에서 오른쪽 반열린 구간들을 열린 집합으로 취해 보자.

예를 들어 (1,3], (2,6], (-3,5] 등의 구간이 있다. 이러한 모든 구간들의 모임이 상한위상의 기저를 이룬다.

각 구간에서 상한은 포함되고 하한은 제외되므로, 열린 집합의 경계 처리 방식이 명확하게 드러난다.

이처럼 상한위상은 '열림'의 정의를 새롭게 바라보게 하는 흥미로운 위상적 구조다.