거리 위상

거리 위상(metric topology)이란 공간 \( X \) 위에 정의된 거리 \( d \)로부터 생성되는 열린 공(open ball)들의 기저가 유도하는 위상을 말한다. 다시 말해, 거리 함수만으로 공간의 열린집합과 연속성 같은 위상적 개념을 정의할 수 있으며, 이러한 위상을 거리 \( d \)가 유도하는 위상이라고 한다.

거리 공간 \( (X, d) \)에서 \( d \)는 공간 \( X \)의 두 점 사이의 거리를 측정하는 함수이다. 이 거리 함수를 이용하면 열린 공을 만들 수 있고, 열린 공들의 합집합으로 열린집합을 정의할 수 있다. 이렇게 얻어지는 위상이 바로 거리 위상이다.

점 \( x \in X \)를 중심으로 하고 양의 반지름 \( \varepsilon \)을 갖는 열린 공(open ball)은 다음과 같이 정의된다.

$$ B_d(x, \varepsilon) = \{y \in X \mid d(x, y) < \varepsilon\}. $$

즉, 열린 공은 중심 \(x\)에서의 거리가 \(\varepsilon\)보다 작은 모든 점들의 집합이다.

거리 위상에서는 이러한 열린 공들의 합집합으로 표현할 수 있는 집합을 열린집합으로 정의한다.

보다 정확하게 말하면, \( U \subset X \)가 거리 \( d \)가 유도하는 거리 위상에서 열린집합일 필요충분조건은, 모든 점 \( y \in U \)에 대해 어떤 반지름 \( \delta > 0 \)가 존재하여 열린 공 \( B_d(y, \delta) \)가 전부 \( U \) 안에 포함되는 것이다.

구체적인 예

거리 위상의 개념을 이해하기 위해 가장 익숙한 공간인 1차원 유클리드 공간 \(\mathbb{R}\), 즉 실수직선을 살펴보자.

\(\mathbb{R}\)은 모든 실수로 이루어진 공간이며, 두 점 \(x\)와 \(y\) 사이의 거리는 다음과 같이 정의된다.

$$ d(x, y) = |x - y| $$

여기서 \(|x-y|\)는 두 수의 차의 절댓값이다. 이 함수는 거리 함수가 만족해야 하는 모든 공리를 만족한다.

이제 이 거리를 이용하여 열린 공을 만들어 보자.

예를 들어 중심을 \(x=3\), 반지름을 \(\varepsilon=1\)로 잡으면 열린 공은 다음과 같다.

$$ B_d(3, 1) = \{y \in \mathbb{R} \mid d(3, y) < 1\} = \{y \in \mathbb{R} \mid |3-y| < 1\} $$

부등식 \( |3-y| < 1 \)을 풀면 \(2 < y < 4\)가 된다. 따라서

$$ B_d(3,1)=(2,4) $$

즉, 중심이 3이고 반지름이 1인 열린 공은 실수직선에서 열린구간 \((2,4)\)와 정확히 일치한다.

\((2,4)\), \((5,7)\), 또는 일반적인 열린구간 \((a,b)\)는 모두 거리 \(d(x,y)=|x-y|\)에 대한 열린 공이거나 여러 열린 공들의 합집합으로 이해할 수 있다.

이러한 열린구간들이 바로 \(\mathbb{R}\)의 거리 위상을 생성하는 기저를 이룬다.

참고. \(\mathbb{R}\)에서 어떤 집합이 열린집합이라는 것은, 집합 안의 임의의 점을 선택하더라도 그 점을 중심으로 하는 충분히 작은 열린구간을 항상 잡을 수 있고, 그 열린구간이 집합 밖으로 벗어나지 않는다는 뜻이다. 예를 들어 \((0,5)\)는 열린집합이다. 왜냐하면 이 구간 안의 모든 점은 \((0,5)\) 내부에 완전히 포함되는 작은 열린구간을 가지기 때문이다.

결국 실수직선에서 거리 \(d(x,y)=|x-y|\)를 사용하면 우리가 익숙하게 사용하는 표준 위상이 얻어지며, 이것을 \(\mathbb{R}\)의 거리 위상이라고 한다.

거리 위상에서의 열린집합

거리 위상에서 부분집합 \( U \subset X \)가 열린집합(open set)이라는 것은, \( U \)의 모든 점 \( y \)에 대해 중심이 \( y \)인 열린 공이 존재하고, 그 열린 공 전체가 \( U \) 안에 포함되는 경우를 말한다.

쉽게 말하면, 열린집합 안의 어느 점을 선택하더라도 그 점을 중심으로 하는 작은 원(고차원에서는 구)을 그릴 수 있으며, 그 원이 집합의 경계를 넘지 않는다.

이러한 성질이 바로 열린집합을 특징짓는 핵심 조건이다.

다음 그림은 거리 공간 \( \mathbb{R}^2 \)에서 열린집합의 예를 보여 준다.

 

반대로 닫힌 공(closed ball)은 중심으로부터 일정 거리 이하에 있는 모든 점을 포함하며, 내부뿐 아니라 경계까지 포함한다.

즉, 열린집합은 모든 점이 내부에서 일정한 "여유 공간"을 갖는 집합이라고 이해할 수 있다.

거리 함수의 종류

거리 위상은 유클리드 거리만으로 정의되는 것이 아니다. 서로 다른 거리 함수를 사용하면 열린 공의 모양은 달라질 수 있지만, 경우에 따라서는 동일한 위상을 유도하기도 한다.

평면 \( \mathbb{R}^2 \)에서 가장 널리 사용되는 거리 함수는 다음과 같다.

• 유클리드 거리(Euclidean metric)
  열린 공은 원의 형태를 가지며, 가장 익숙한 표준 위상을 유도한다. $$ d(p,q)=\sqrt{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2} $$
  
• 택시 거리(Manhattan metric)
  열린 공은 마름모 모양이 되며, 이를 맨해튼 거리라고도 한다. $$ d_T(p,q)=|p_1-q_1|+|p_2-q_2|. $$
  
• 최대 거리(Max metric)
  열린 공은 한 변의 길이가 \(2\varepsilon\)인 정사각형 모양이 된다. $$ d_M(p,q)=\max\{|p_1-q_1|,\;|p_2-q_2|\} $$
  

열린 공의 모양은 원, 마름모, 정사각형으로 서로 다르지만, 이 세 거리 모두 \(\mathbb{R}^2\)에서 동일한 표준 위상을 유도한다.

추가 참고

거리 위상과 관련하여 자주 함께 다루는 중요한 정리는 다음과 같다.

• 정리: 거리 위상의 비교

  집합 \(X\) 위의 두 거리 \(d\)와 \(d'\)가 각각 위상 \(\mathcal{T}\)와 \(\mathcal{T}'\)를 유도한다고 하자. 이때 \(\mathcal{T}'\)가 \(\mathcal{T}\)보다 더 세밀한 위상일 필요충분조건은, 모든 \(x \in X\)와 임의의 \(\varepsilon>0\)에 대해 어떤 \(\delta>0\)가 존재하여 다음이 성립하는 것이다. $$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon) $$ 여기서 \(B_d(x,\varepsilon)\)와 \(B_{d'}(x,\delta)\)는 각각 두 거리에서 정의되는 열린 공을 나타낸다.

  다시 말해, \(d\)가 유도하는 열린집합은 모두 \(d'\)가 유도하는 열린집합으로 더 세밀하게 표현될 수 있을 때 \(\mathcal{T}'\)는 \(\mathcal{T}\)보다 더 세밀한 위상이다.
• 유계 거리 정리
  거리 공간 \( (X,d) \)에서는 \(\varepsilon>0\)에 대해 새로운 거리 \( d'(x,y)=\min(d(x,y),\varepsilon) \) 를 정의할 수 있다. 이 새로운 거리는 원래의 거리 \(d\)와 동일한 위상을 유도하므로, 두 거리에서 정의되는 열린집합은 서로 완전히 일치한다.

이 밖에도 거리 위상과 관련된 다양한 정리와 성질들이 존재한다.