곱공간의 위상동형성

위상공간 $ X $, $ Y $, $ Z $에 대하여 다음과 같은 곱공간들 $$ (X \times Y) \times Z $$ $$ X \times (Y \times Z) $$ $$ X \times Y \times Z $$ 은 서로 위상동형이다. $$ (X \times Y) \times Z \cong X \times (Y \times Z) \cong X \times Y \times Z $$

즉, 데카르트 곱에서 공간들을 어떤 방식으로 괄호로 묶더라도 최종적으로 얻어지는 위상공간의 구조는 본질적으로 동일하다.

다시 말해, 위상공간의 데카르트 곱은 결합법칙을 만족한다.

참고: 이 성질 덕분에 여러 위상공간의 곱을 다룰 때 괄호의 위치나 공간들의 묶는 방식을 따로 구분할 필요가 없다. 따라서 복잡한 곱공간도 훨씬 단순하고 체계적으로 분석할 수 있다.

구체적인 예시

곱공간의 위상동형성을 직관적으로 이해하기 위해, $\mathbb{R}$ (표준위상을 갖는 실수공간)과 $\mathbb{R}^2$ (곱위상을 갖는 데카르트 평면)을 예로 들어 보자.

세 개의 실수공간을 다음과 같이 둔다.

$X = \mathbb{R}$
$Y = \mathbb{R}$
$Z = \mathbb{R}$

이제 이 공간들로 만들 수 있는 곱공간들을 각각 살펴보자.

곱공간 (X×Y)×Z
먼저 $X \times Y$를 계산하면 $\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2$가 된다. 즉, 데카르트 평면을 얻는다. 이후 $\mathbb{R}^2$와 $Z$의 곱을 취하면 $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}$이 된다. 이 공간의 원소는 $((x, y), z)$ 형태의 순서쌍이며, $x, y, z \in \mathbb{R}$이다. 결국 이 공간은 3차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^3$와 자연스럽게 동일시할 수 있다.
곱공간 X×(Y×Z)
이번에는 먼저 $Y \times Z$를 계산한다. 역시 $\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2$가 된다. 다음으로 $X$와 $\mathbb{R}^2$의 곱을 취하면 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^2$를 얻게 된다. 이 공간의 원소는 $(x, (y, z))$ 형태의 순서쌍이며, $x, y, z \in \mathbb{R}$이다. 이 경우에도 결과적으로 얻어지는 공간은 $\mathbb{R}^3$와 동일한 위상구조를 가진다.
곱공간 X×Y×Z
마지막으로 세 공간 $\mathbb{R}$의 데카르트 곱을 직접 계산하면 $(x, y, z)$ 형태의 순서삼중으로 이루어진 공간을 얻는다. 여기서도 $x, y, z \in \mathbb{R}$이며, 이 공간 역시 $\mathbb{R}^3$와 위상동형이다.

세 경우 모두 최종적으로 얻어지는 위상공간은 $\mathbb{R}^3$와 위상동형(homeomorphic)이다.

즉, 괄호의 위치나 곱을 계산하는 순서는 최종적인 위상구조에 아무런 영향을 주지 않는다.

이 예시는 위상공간의 곱에서 결합 방식이 달라지더라도 결과적으로는 동일한 위상공간이 얻어진다는 사실을 잘 보여준다.