데카르트 곱의 내부에 대한 정리

위상공간 \(X\)와 \(Y\)의 부분집합 \(A\)와 \(B\)에 대하여, 데카르트 곱 \(A \times B\)의 내부는 각 집합의 내부의 데카르트 곱과 정확히 일치한다. 즉, 다음 관계가 성립한다. $$ \text{Int}(A \times B) = \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$

이 정리는 곱위상(product topology)의 중요한 성질 가운데 하나로, 데카르트 곱의 내부를 구할 때 각 집합의 내부를 먼저 구한 뒤 그 결과를 곱해도 같은 결과를 얻을 수 있음을 보여 준다.

다시 말해, 복잡한 데카르트 곱의 내부를 직접 분석할 필요 없이 각 집합의 내부를 개별적으로 계산한 후 결합하면 된다.

예제

위상공간 \(X = \mathbb{R}\), \(Y = \mathbb{R}\)와 두 부분집합 \(A = (0, 2)\), \(B = (1, 3)\)을 생각해 보자.

\(A\)와 \(B\)는 모두 실수직선 \(\mathbb{R}\) 위의 열린구간이다.

먼저 각 집합의 내부를 구한다.

\(A\)는 이미 열린집합이므로 내부는 집합 자체와 같다.

$$ \text{Int}(A) = (0, 2) $$

\(B\) 역시 열린집합이므로 내부는 다음과 같다.

$$ \text{Int}(B) = (1, 3) $$

이제 각 내부의 데카르트 곱을 계산해 보자.

$$ \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) = (0, 2) \times (1, 3) $$

이는 \(x \in (0,2)\), \(y \in (1,3)\)인 모든 순서쌍 \((x,y)\)의 집합이다.

$$ \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) = \{(x, y) \mid x \in (0, 2) \text{ and } y \in (1, 3)\} $$

기하학적으로는 \(\mathbb{R}^2\)에서 열린 직사각형을 나타낸다. 보다 정확히 말하면, \((0,1)\), \((0,3)\), \((2,1)\), \((2,3)\)을 꼭짓점으로 하는 직사각형의 내부에 해당한다.

이번에는 데카르트 곱 자체의 내부를 살펴보자.

$$ A \times B = (0, 2) \times (1, 3) $$

이 집합 역시 \(\mathbb{R}^2\)에서 동일한 열린 직사각형을 나타낸다.

따라서 그 내부는

$$ \text{Int}(A \times B) = (0, 2) \times (1, 3) $$

가 되며, 앞서 계산한 \(\text{Int}(A) \times \text{Int}(B)\)와 정확히 일치한다.

즉,

$$ \text{Int}(A \times B) = (0, 2) \times (1, 3) = \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$

이 예제를 통해 정리가 실제로 성립함을 확인할 수 있다.

증명

정리를 증명하기 위해서는 두 집합이 서로 포함된다는 사실을 각각 보여 주면 된다.

먼저 내부들의 데카르트 곱이 데카르트 곱의 내부에 포함됨을 증명하고, 이어서 그 반대 포함관계를 증명한다.

1] 내부들의 데카르트 곱은 데카르트 곱의 내부에 포함된다

먼저 다음을 보이자.

$$ \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) \subseteq \text{Int}(A \times B) $$

\(x \in \text{Int}(A)\), \(y \in \text{Int}(B)\)인 임의의 점 \((x,y)\)를 잡는다.

\(x\)가 \(A\)의 내부점이라는 것은

$$ x \in U \subseteq A $$

를 만족하는 열린집합 \(U \subseteq X\)가 존재함을 의미한다.

마찬가지로 \(y\)가 \(B\)의 내부점이면

$$ y \in V \subseteq B $$

를 만족하는 열린집합 \(V \subseteq Y\)가 존재한다.

곱위상의 정의에 따라 \(U \times V\)는 \(X \times Y\)의 열린집합이다.

또한

$$ (x,y) \in U \times V \subseteq A \times B $$

가 성립한다.

따라서 \((x,y)\)를 포함하는 열린집합이 \(A \times B\) 안에 존재하므로 \((x,y)\)는 \(A \times B\)의 내부점이다.

즉,

$$ (x,y) \in \text{Int}(A \times B) $$

이다.

결론적으로

$$ \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) \subseteq \text{Int}(A \times B) $$

가 성립한다.

2] 데카르트 곱의 내부는 내부들의 데카르트 곱에 포함된다

이제 반대 방향의 포함관계를 증명하자.

$$ \text{Int}(A \times B) \subseteq \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$

\((x,y) \in \text{Int}(A \times B)\)라고 가정하자.

그러면 정의에 의해

$$ (x,y) \in W \subseteq A \times B $$

를 만족하는 열린집합 \(W \subseteq X \times Y\)가 존재한다.

곱위상의 기저 성질에 따르면, \((x,y)\)를 포함하는 열린집합 \(U \subseteq X\), \(V \subseteq Y\)가 존재하여

$$ (x,y) \in U \times V \subseteq W $$

를 만족한다.

또한 \(W \subseteq A \times B\)이므로

$$ U \times V \subseteq A \times B $$

이다.

따라서

$$ U \subseteq A \qquad \text{및} \qquad V \subseteq B $$

를 얻는다.

\(U\)와 \(V\)는 열린집합이므로

$$ x \in U \subseteq A $$

$$ y \in V \subseteq B $$

는 각각 \(x \in \text{Int}(A)\), \(y \in \text{Int}(B)\)를 의미한다.

결국

$$ (x,y) \in \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$

가 된다.

따라서

$$ \text{Int}(A \times B) \subseteq \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$

가 성립한다.

3] 결론

지금까지 다음 두 포함관계를 모두 증명하였다.

$$ \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) \subseteq \text{Int}(A \times B) $$

$$ \text{Int}(A \times B) \subseteq \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$

따라서 두 집합은 서로 같으며, 다음 결론을 얻는다.

$$ \text{Int}(A \times B) = \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$

즉, 데카르트 곱의 내부는 각 집합의 내부의 데카르트 곱과 정확히 일치한다.

이로써 정리가 증명되었다.