집합 A의 경계가 A의 부분집합이 될 필요충분조건

집합 \( A \)의 경계 \( \partial A \)가 \( A \)의 부분집합이 되는 것은, 그리고 그 경우에 한하여 \( A \)가 닫힌 집합일 때이다.

\[ \partial A \subseteq A \Leftrightarrow A \text{ is closed} \]

이 성질은 위상수학에서 닫힌 집합의 특징을 이해하는 데 매우 중요한 기준 가운데 하나이다. 직관적으로 말하면, 어떤 집합이 자신의 경계를 모두 포함하고 있다면 그 집합은 닫힌 집합이며, 반대로 닫힌 집합은 반드시 자신의 경계를 포함한다.

예시

예 1

집합 \( A \)를 유클리드 공간 \(\mathbb{R}^2\)에서 원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 닫힌 원판이라고 하자.

$$ A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 1 \} $$

이때 집합 \( A \)의 경계는 반지름이 1인 원주이다.

$$ \partial A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 \} $$

닫힌 원판은 원 내부의 점들뿐 아니라 원주 위의 점들도 모두 포함한다. 따라서 경계에 있는 모든 점이 집합 \( A \)에 속한다.

$$ \partial A \subseteq A $$

이로부터 집합 \( A \)가 닫힌 집합임을 확인할 수 있다.

예 2

이번에는 집합 \( B \)를 원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 열린 원판이라고 하자.

$$ B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 < 1 \} $$

집합 \( B \)의 경계 역시 반지름이 1인 원주이다.

$$ \partial B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 \} $$

하지만 열린 원판은 원 내부의 점들만 포함하고, 원주 위의 점들은 포함하지 않는다. 따라서 경계는 집합 \( B \)에 속하지 않는다.

$$ \partial B \nsubseteq B $$

이 사실은 집합 \( B \)가 닫힌 집합이 아니라는 것을 보여준다.

이 두 예를 통해 다음 사실을 분명하게 이해할 수 있다.

닫힌 집합은 자신의 경계를 포함하지만, 열린 집합은 경계를 포함하지 않는다.

증명

이 명제는 두 방향으로 나누어 증명할 수 있다.

1] 경계가 A의 부분집합이면 A는 닫힌 집합이다

\( \partial A \subseteq A \)라고 가정하자. 즉, 집합 \( A \)의 경계가 \( A \)에 포함된다고 하자.

집합 \( A \)의 경계는 다음과 같이 정의된다.

\( \partial A = \overline{A} \cap \overline{A^c} \)

여기서 \( \overline{A} \)는 집합 \( A \)의 폐포이고, \( \overline{A^c} \)는 \( A \)의 여집합의 폐포이다.

경계의 정의에 따르면 \( \partial A \)에 속하는 모든 점은 \( A \) 또는 \( A^c \)의 극한점이다.

만약 \( \partial A \subseteq A \)라면 이러한 경계점들은 모두 집합 \( A \)에 포함된다.

따라서 집합 \( A \)는 자신의 모든 극한점을 포함하게 된다.

정의에 따르면 어떤 집합이 자신의 모든 극한점을 포함하면 그 집합은 닫힌 집합이다. 따라서 \( A \)는 닫힌 집합이다.

2] A가 닫힌 집합이면 경계는 A의 부분집합이다

이제 집합 \( A \)가 닫힌 집합이라고 가정하자.

닫힌 집합의 정의에 따르면 \( A \)는 자신의 폐포와 같다.

$$ A = \text{Cl}(A) $$

집합 \( A \)의 경계는 다음과 같이 표현된다.

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) $$

\( A = \text{Cl}(A) \)이므로 이를 대입하면 다음과 같다.

$$ \partial A = A \cap \text{Cl}(A^c) $$

즉, 경계에 있는 점들은 집합 \( A \)에 속하면서 동시에 \( A \)의 여집합의 폐포에도 속하는 점들이다.

따라서 경계에 속하는 모든 점은 집합 \( A \)에 포함된다.

결론적으로

$$ \partial A \subseteq A $$

결론

지금까지 살펴본 내용을 정리하면 다음과 같다.

집합 \( A \)의 경계가 \( A \)에 포함되는 것은, 그리고 그 경우에 한하여 \( A \)가 닫힌 집합일 때이다.

\[ \partial A \subseteq A \Leftrightarrow A \text{ is closed} \]

이 결과는 닫힌 집합의 중요한 특징 가운데 하나이며, 위상수학과 해석학에서 자주 사용되는 기본적인 성질이다.