집합의 경계는 항상 닫혀 있다

집합의 경계는 항상 닫혀 있다. 이는 집합 $A$의 폐포와 그 여집합의 폐포의 교집합으로 정의되기 때문이다: $$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X \setminus A) $$

위상공간 $X$에서 집합 $A$의 경계 $\partial A$는, 직관적으로 말하면 $A$와 그 바깥 영역 사이의 "경계선"에 해당하는 점들의 집합이다. 이 경계는 다음과 같이 정의된다:

$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X \setminus A) $

여기서 중요한 점은, 닫힌 집합들의 교집합은 항상 닫힌 집합이라는 사실이다. 따라서 이 정의만으로도 $\partial A$가 언제나 닫혀 있다는 것을 바로 알 수 있다.

구체적인 예

표준 위상을 갖는 실수공간 $\mathbb{R}$을 생각해 보자. 이 공간에서 열린 집합은 열린 구간으로 표현된다.

예를 들어 $A = (0, 1)$을 취하자. 이는 0과 1 사이의 열린 구간이다.

먼저 $A$의 폐포 $Cl(A)$를 보면, 이는 다음과 같다:

$ Cl(A) = [0, 1] $

즉, $A$에 포함된 모든 점에 더해, 극한점인 0과 1까지 포함된다.

이제 $A$의 여집합을 구하면:

$$ \mathbb{R} \setminus A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

이 집합은 이미 닫힌 집합이므로, 그 폐포는 그대로 유지된다:

$$ Cl(\mathbb{R} \setminus A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

이제 경계를 계산해 보자:

$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(\mathbb{R} \setminus A) $$

$$ \partial A = [0, 1] \cap \big((-\infty, 0] \cup [1, \infty)\big) = \{0, 1\} $$

따라서 이 경우 경계는 두 점 $\{0, 1\}$으로 이루어지며, 이는 분명히 닫힌 집합이다.

이제 일반적인 경우를 살펴보자.

임의의 위상공간 $X$에서 다음 사실들이 성립한다:

경계의 정의에 따라

$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X \setminus A) $$

이 식은 두 닫힌 집합의 교집합을 나타낸다. 따라서 $\partial A$는 항상 닫힌 집합이 된다.

결론적으로, 어떤 위상공간에서든 집합의 경계는 언제나 닫혀 있다.