집합의 경계와 내부는 서로소이다

집합의 경계 \( \partial A \)와 내부 \( \text{Int}(A) \)는 서로소이다: $$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $$

위상수학에서 자주 등장하는 기본 성질 중 하나는, 집합의 경계와 내부가 서로 겹치지 않는다는 점이다. 이 사실은 직관적으로도 이해할 수 있으며, 간단한 예를 통해 쉽게 확인할 수 있다.

수치적 예

표준 위상을 갖는 위상공간 \(\mathbb{R}\)을 생각해 보자. 이때 열린 집합은 열린 구간으로 주어진다.

집합 \(A = (0, 1)\), 즉 0과 1 사이의 열린 구간을 취한다.

\(A\)의 내부는 각 점을 중심으로 하는 어떤 근방이 완전히 \(A\) 안에 포함되는 점들의 집합이다. 이 경우, 구간 안의 모든 점이 이러한 조건을 만족하므로

$$ \text{Int}(A) = A = (0, 1) $$

한편, \(A\)의 폐포는 집합 \(A\)의 모든 점에 더해 경계점인 0과 1을 포함한다.

$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$

\(\mathbb{R}\)에서 \(A\)의 여집합은 다음과 같다.

$$ \mathbb{R} \setminus A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

이 여집합은 이미 닫힌 집합이므로, 그 폐포 역시 동일하다.

$$ \text{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

이제 경계를 계산해 보자.

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) $$

$$ \partial A = [0, 1] \cap \bigl((-\infty, 0] \cup [1, \infty)\bigr) $$

$$ \partial A = \{0, 1\} $$

따라서 경계는 구간의 양 끝점인 0과 1로 이루어진다. 이제 내부와의 교집합을 보면

$$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \{0, 1\} \cap (0, 1) = \emptyset $$

즉, 경계에 속한 점과 내부에 속한 점은 하나도 겹치지 않는다. 이 간단한 예를 통해 경계와 내부가 서로소임을 직관적으로 확인할 수 있다.

증명

이 성질은 정의를 이용해 일반적으로도 증명할 수 있다.

먼저, 집합 \(A\)의 경계는 다음과 같이 정의된다.

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$

이 정의는 경계에 있는 점이 집합 \(A\)와 그 여집합 \(X \setminus A\) 양쪽에 모두 임의로 가까이 접근할 수 있음을 의미한다.

반면, 집합 \(A\)의 내부 \( \text{Int}(A) \)는 어떤 근방이 완전히 \(A\) 안에 포함되는 점들의 집합이다. 즉, 내부의 점은 주변의 충분히 작은 영역이 전부 \(A\) 안에 들어간다.

이제 두 경우를 각각 살펴보자.

\(x \in \partial A\)라고 하자. 그러면 \(x\)의 모든 근방은 \(A\)와 \(X \setminus A\)를 모두 만난다. 따라서 어떤 근방도 전부 \(A\) 안에 포함될 수 없으므로, \(x\)는 내부점이 될 수 없다. 즉, \(x \notin \text{Int}(A)\)이다.

반대로 \(y \in \text{Int}(A)\)라고 하자. 이 경우 \(y\)를 포함하는 어떤 근방이 전부 \(A\) 안에 존재한다. 따라서 이 근방은 \(X \setminus A\)와 만나지 않으므로, \(y\)는 \(\text{Cl}(X \setminus A)\)에 속하지 않는다. 결과적으로 \(y \notin \partial A\)이다.

이로부터 경계와 내부 사이에는 공통된 점이 존재하지 않음을 알 수 있으며, 따라서 두 집합은 서로소이다.

$$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $$

이 성질은 모든 위상공간에서 성립하는 기본적인 결과이다.