집합의 내부와 경계의 합과 폐포의 관계

위상공간에서 집합 \(A\)를 생각하자. 이때 \(A\)의 내부 \( \text{Int}(A) \)와 경계 \( \partial A \)를 합치면, 정확히 집합 \(A\)의 폐포가 된다.  $$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \text{Cl}(A) $$

즉, 집합의 “안쪽에 있는 점들”과 “경계에 있는 점들”을 모두 모으면, 그 집합을 포함하는 가장 작은 닫힌집합이 얻어진다. 이것이 바로 폐포이다.

예시

가장 간단한 경우로, 실수공간 \(\mathbb{R}\)에서 집합 \(A = (0, 1)\)을 살펴보자.

먼저, \(A\)의 내부는 열린구간 \((0,1)\)이다.

$$ Int(A) = (0, 1) $$

폐포는 양 끝점 0과 1을 포함한 닫힌구간 \([0,1]\)이다.

$$ Cl(A) = [0, 1] $$

경계는 내부에는 속하지 않지만, 집합에 “닿아 있는” 점들로 이루어지며, 이 경우 0과 1이다.

$$ \partial A = \{0, 1\} $$

이제 내부와 경계를 합치면 다음과 같다.

$$ \partial A \cup Int(A) = \{0, 1\} \cup (0, 1) = [0, 1] $$

결과적으로 폐포와 정확히 일치한다.

$$ \partial A \cup Int(A) = Cl(A) $$

이 예시는 내부와 경계가 함께 모여 집합의 전체적인 “닫힘”을 형성한다는 점을 직관적으로 보여준다.

증명

이 성질을 보다 명확하게 이해하기 위해 기본 개념을 정리하자.

1. 내부 (\(Int(A)\))
   내부는 어떤 점을 중심으로 작은 영역(근방)을 잡았을 때, 그 영역이 완전히 집합 \(A\) 안에 포함되는 점들의 집합이다.
2. 폐포 (\(Cl(A)\))
   폐포는 집합 \(A\)에 속한 점들과, 그에 한없이 가까이 다가갈 수 있는 점들(극한점)을 모두 포함하는 집합이다. 따라서 \(Cl(A) = A \cup \partial A\)로 표현할 수 있다.
3. 경계 (\(\partial A\))
   경계는 집합 \(A\)와 그 바깥을 구분하는 “경계선”에 해당하는 점들의 집합이다. 보다 정확히는, \(\partial A = Cl(A) \cap Cl(X \setminus A)\)이다.

이제 위상공간 \(X\)에서 집합 \(A\)를 고려하자.

정의에 의해, 폐포는 내부와 경계의 합집합으로 표현된다.

$$ Cl(A) = Int(A) \cup \partial A $$

또한 내부와 경계는 서로 겹치지 않는다.

$$ Int(A) \cap \partial A = \emptyset $$

따라서 내부와 경계를 합치면 폐포가 되며, 이는 다음과 같이 정리된다.

$$ Cl(A) = Int(A) \cup \partial A $$

결론적으로, 집합의 내부와 경계를 함께 고려하면 그 집합의 폐포를 완전히 기술할 수 있다.