경계가 공집합인 집합과 클로펜 집합
집합 \(A\)의 경계 \(\partial A\)가 공집합일 필요충분조건은 \(A\)가 동시에 열린 집합이면서 닫힌 집합, 즉 클로펜(clopen) 집합이라는 것이다. $$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ is clopen} $$
이 정리는 위상수학에서 매우 중요한 성질을 간결하게 보여준다. 경계가 없다는 것은, 해당 집합이 그 내부와 외부 사이에 “경계 역할을 하는 점”을 전혀 갖지 않는다는 뜻이다. 다시 말해, 집합 \(A\)의 폐포와 그 여집합의 폐포에 동시에 속하는 점이 하나도 존재하지 않는다는 의미이다.
구체적인 예
예시 1
표준 위상을 갖는 위상공간 \(\mathbb{R}\)에서 집합 \( A = \emptyset \)를 생각해 보자.
먼저 경계 \(\partial A\)가 공집합인지 확인한다.
\(A = \emptyset\)의 폐포는
$$ \text{Cl}(A) = \emptyset $$
이고, 여집합은 \(A^c = \mathbb{R}\)이다.
\(\mathbb{R}\)은 이미 닫힌 집합이므로
$$ \text{Cl}(A^c) = \mathbb{R} $$
이다.
따라서
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset \cap \mathbb{R} = \emptyset $$
가 되어, 경계는 공집합이다. 따라서 \(A\)는 클로펜 집합이다.
실제로 공집합은 정의에 의해 열린 집합이며, 동시에 어떤 집적점도 갖지 않기 때문에 닫힌 집합이기도 하다.
예시 2
이번에는 집합 \( A = \mathbb{R} \)를 살펴보자.
\(A\)의 폐포는
$$ \text{Cl}(A) = \mathbb{R} $$
이고, 여집합은 \(A^c = \emptyset\)이다.
따라서
$$ \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$
이며, 경계는
$$ \partial A = \mathbb{R} \cap \emptyset = \emptyset $$
가 된다.
이 경우에도 경계는 공집합이므로 \(A\)는 클로펜 집합이다. 전체공간 \(\mathbb{R}\) 역시 열린 집합이면서 동시에 닫힌 집합이다.
예시 3
이제 \(A = [0,1)\)를 살펴보자.
\(A\)의 폐포는 \(\text{Cl}(A) = [0,1]\)이고, 여집합은
\(A^c = (-\infty, 0) \cup [1, \infty)\)이다.
여집합의 폐포는
\(\text{Cl}(A^c) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty)\)이다.
따라서 경계는
$$ \partial A = [0,1] \cap \left( (-\infty, 0] \cup [1, \infty) \right) = \{0, 1\} $$
가 된다.
이 경우 경계는 공집합이 아니므로, \(A\)는 클로펜 집합이 아니다. 실제로 \(A = [0,1)\)는 열린 집합이지만 닫힌 집합은 아니다.
이 세 가지 예는 정리의 의미를 직관적으로 잘 보여준다. 경계가 없는 집합은 내부와 외부가 분리되어 있어, 동시에 열린 집합이면서 닫힌 집합이 되는 것이다.
증명
정의를 먼저 다시 확인하자. 집합 \(A\)의 경계는 다음과 같이 주어진다.
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) $$
이제 이 조건이 클로펜 성질과 동치임을 양방향으로 보인다.
1] 경계가 공집합이면, 집합 A는 클로펜이다
\(\partial A = \emptyset\)라고 가정하면
$$ \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$
가 된다. 즉, \(A\)의 폐포와 여집합의 폐포에 동시에 속하는 점이 존재하지 않는다.
닫힌 집합 여부
\(\text{Cl}(A)\)의 모든 점은 \(\text{Cl}(A^c)\)에 속하지 않으므로
$$ \text{Cl}(A) \subseteq (A^c)^c = A $$
이다. 한편 항상 \(A \subseteq \text{Cl}(A)\)이므로
$$ \text{Cl}(A) = A $$
가 되어, \(A\)는 닫힌 집합이다.
열린 집합 여부
같은 조건에서
$$ \text{Cl}(A^c) \subseteq A^c $$
이므로 \(A^c\)는 닫힌 집합이다. 따라서 그 여집합 \(A\)는 열린 집합이다.
결론적으로 \(A\)는 열린 집합이면서 닫힌 집합, 즉 클로펜 집합이다.
2] 집합 A가 클로펜이면, 경계는 공집합이다
이번에는 \(A\)가 열린 집합이면서 닫힌 집합이라고 가정하자.
닫힌 집합이므로
$$ A = \text{Cl}(A) $$
열린 집합이므로
$$ A = \text{Int}(A) $$
또한 여집합 \(A^c\)도 닫힌 집합이므로
$$ A^c = \text{Cl}(A^c) $$
이를 경계의 정의에 대입하면
$$ \partial A = A \cap A^c $$
가 된다.
집합과 그 여집합의 교집합은 항상 공집합이므로
$$ \partial A = \emptyset $$
이다.
3] 결론
따라서 다음이 성립한다.
$$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ is clopen} $$
즉, 경계가 없는 집합은 정확히 클로펜 집합이며, 그 역도 성립한다.
