위상수학에서 집합과 그 경계의 교집합

집합 \( A \)의 경계 \( \partial A \)와 집합 \( A \)의 교집합은, \( A \)가 열린 집합일 때 그리고 그 경우에 한하여 공집합이 된다: $$ \partial A \cap A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ is open} $$

이 명제는 열린 집합의 성질을 이해하는 데 매우 중요한 기준을 제공한다.

핵심은 간단하다. 집합 \( A \)가 열린 집합이라면, 그 안에 있는 어떤 점도 경계에 속하지 않는다.

따라서 열린 집합에서는 집합 자체와 경계가 서로 겹치지 않는다.

예시로 이해하기

표준 위상을 갖는 실수 직선 \(\mathbb{R}\)에서 열린 구간 \((0, 1)\)을 생각해 보자.

$$ A = (0, 1) $$

이 집합 \( A \)는 열린 집합이다.

먼저, 경계를 구해 보자. 경계는 다음과 같이 정의된다.

$$ \partial A = \mathrm{Cl}(A) \cap \mathrm{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) $$

\( A \)의 폐포는 다음과 같다.

$$ \mathrm{Cl}(A) = [0, 1] $$

여집합의 폐포는 다음과 같다.

$$ \mathrm{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

따라서 경계는 다음과 같이 계산된다.

$$ \partial A = [0, 1] \cap \big((-\infty, 0] \cup [1, \infty)\big) $$

$$ \partial A = \{0, 1\} $$

이제 집합과 경계의 교집합을 구해 보자.

$$ \partial A \cap A = \{0, 1\} \cap (0, 1) = \emptyset $$

경계에 해당하는 점 \( 0 \)과 \( 1 \)은 집합 \( A \)에 포함되지 않기 때문에, 두 집합은 공통 원소를 갖지 않는다.

예제 2

이번에는 닫힌 구간을 살펴보자.

$$ B = [0, 1] $$

이 집합 \( B \)는 닫힌 집합이다.

경계는 동일한 방식으로 계산된다.

$$ \partial B = \mathrm{Cl}(B) \cap \mathrm{Cl}(\mathbb{R} \setminus B) $$

$$ \mathrm{Cl}(B) = [0, 1] $$

$$ \mathrm{Cl}(\mathbb{R} \setminus B) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

따라서

$$ \partial B = \{0, 1\} $$

이번에는 상황이 다르다.

$$ \partial B \cap B = \{0, 1\} $$

경계에 있는 점들이 집합 \( B \) 안에도 포함되므로, 교집합은 공집합이 아니다.

이 예를 통해 열린 집합과 닫힌 집합의 차이를 직관적으로 이해할 수 있다.

왜 이런 성질이 성립할까

이제 위의 결과를 간단히 논리적으로 정리해 보자.

(⇒) \( \partial A \cap A = \emptyset \)이면 \( A \)는 열린 집합이다

집합 \( A \)와 그 경계가 서로 겹치지 않는다고 가정하자.

그러면 \( A \)의 어떤 점도 경계에 속하지 않는다.

이는 곧, 모든 점이 집합 내부에 완전히 포함되는 근방을 가진다는 뜻이다.

이 조건은 바로 열린 집합의 정의이다.

(⇐) \( A \)가 열린 집합이면 \( \partial A \cap A = \emptyset \)

이번에는 \( A \)가 열린 집합이라고 가정하자.

각 점은 집합 안에 완전히 포함되는 근방을 가지므로, 경계에 위치할 수 없다.

따라서 경계와 집합은 서로 교차하지 않는다.

정리

정리하면 다음과 같다.

집합이 열린 집합인지 여부는, 그 집합이 자신의 경계와 겹치는지 여부로 판별할 수 있다.

경계와 공통 원소가 없으면 열린 집합이고, 그렇지 않으면 열린 집합이 아니다.