集合の境界は閉包と補集合の閉包の共通部分である

位相空間 \( X \) の部分集合 \( A \) に対して，集合 \( A \) の境界 \( \partial A \) は，\( A \) の閉包とその補集合の閉包の双方に属する点全体として定義される。  $$ \partial A = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A} $$

つまり，集合 \(A\) の境界とは，「\(A\) にもその外側にも限りなく近い点」の集まりであり，その正確な表現が閉包同士の共通部分である。

このように捉えることで，境界は直感的にも理解しやすくなる。すなわち，境界とは集合の内側と外側を分ける境目に位置する点の集合である。

具体例

実数直線 \(\mathbb{R}\) 上で，集合 \( A \) を開区間 \( (0, 1) \) とする。

まず，\( (0, 1) \) の閉包は，端点を含めた区間全体である。

$$ \overline{A} = [0, 1] $$

一方で，補集合 \( \mathbb{R} \setminus A \) は区間の外側すべてであり，その閉包は次のようになる。

$$ \overline{\mathbb{R} \setminus A} = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

この二つの集合の共通部分をとると，ちょうど境界が得られる。

$$ \partial A = [0, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) $$

計算すると

$$ \partial A = \{0, 1\} $$

したがって，区間 \( (0, 1) \) の境界は端点の集合 \(\{0, 1\}\) であり，これは区間とその外側が接する点そのものである。

証明

ここでは，境界の定義から出発して，上の関係式が成り立つことを示す。

定義により，\( A \subseteq X \) の境界 \(\partial A\) は，任意の点 \(x \in X\) に対して，その任意の近傍が \(A\) と \(X \setminus A\) の双方と交わるような点の集合である。

$$ \partial A = \{ x \in X \mid \forall U \in \mathcal{N}(x),\; U \cap A \neq \emptyset \;\text{かつ}\; U \cap (X \setminus A) \neq \emptyset \} $$

ここで \(\mathcal{N}(x)\) は点 \(x\) の近傍系を表す。

以下では，二つの包含関係を順に示す。

1] \(\partial A \subseteq \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}\)

境界の定義より，任意の点 \(x \in \partial A\) のすべての近傍は，集合 \(A\) と補集合 \(X \setminus A\) の両方と交わる。

したがって，そのような点 \(x\) は

• \(A\) と交わる近傍をもつため，\( x \in \overline{A} \)
• 補集合とも交わる近傍をもつため，\( x \in \overline{X \setminus A} \)

よって

$$ \partial A \subseteq \overline{A} \cap \overline{X \setminus A} $$

2] \(\overline{A} \cap \overline{X \setminus A} \subseteq \partial A\)

逆に，任意の点 \(x \in \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}\) をとる。

このとき，\(x\) の任意の近傍は

• 集合 \(A\) と交わり
• 補集合 \(X \setminus A\) とも交わる

したがって，そのような点は境界の定義を満たす。

よって

$$ \overline{A} \cap \overline{X \setminus A} \subseteq \partial A $$

3] 結論

以上より，両方向の包含関係が成立するため

• $ \partial A \subseteq \overline{A} \cap \overline{X \setminus A} $
• $ \partial A \supseteq \overline{A} \cap \overline{X \setminus A} $

が同時に成り立つ。

したがって，次の等式が得られる。

$$ \partial A = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A} $$

これで証明は完了である。

この関係は，境界の性質を理解するうえで非常に基本的かつ重要な結果であり，位相空間における多くの議論の出発点となる。