集合の境界と内部の和と閉包の一致

集合の境界 $ \partial A $ とその内部 $ \operatorname{Int}(A) $ を合わせると、ちょうど集合 $ A $ の閉包になる。すなわち、次の関係が成り立つ。

$$ \partial A \cup \operatorname{Int}(A) = \operatorname{Cl}(A) $$

例

位相空間 $\mathbb{R}$ において、$A = (0, 1)$ を考える。

まず、集合 $A$ の内部は開区間 (0,1) である。

$$ \operatorname{Int}(A) = (0, 1) $$

一方で、集合 $A$ の閉包は端点を含む閉区間 [0,1] となる。

$$ \operatorname{Cl}(A) = [0, 1] $$

また、集合 $A$ の境界は点 0 と 1 からなる。

$$ \partial A = \{0, 1\} $$

これらを合わせると、境界と内部の和集合はちょうど閉包と一致する。

$$ \partial A \cup \operatorname{Int}(A) = \{0, 1\} \cup (0, 1) = [0, 1] $$

$$ \partial A \cup \operatorname{Int}(A) = \operatorname{Cl}(A) $$

この例から、集合のすべての点は「内部点」と「境界点」によって完全に捉えられ、それらを合わせることで閉包が得られることが分かる。

この性質を理解するために、基本的な定義を整理しておく。

集合 $A$ の内部（$\operatorname{Int}(A)$）
各点のまわりに、その点を含み、かつ全体が集合 $A$ に含まれるような開近傍が存在するとき、その点は内部点である。内部はそのような点全体からなる。
集合 $A$ の閉包（$\operatorname{Cl}(A)$）
閉包とは、集合 $A$ にそのすべての極限点を加えた集合であり、$ \operatorname{Cl}(A) = A \cup \partial A $ と表される。
集合 $A$ の境界（$\partial A$）
境界とは、集合 $A$ の閉包とその補集合の閉包の共通部分であり、$\partial A = \operatorname{Cl}(A) \cap \operatorname{Cl}(X \setminus A)$ によって定義される。

位相空間 $X$ における集合 $A$ を考える。

定義より、閉包は内部と境界の和集合として表される。

$$ \operatorname{Cl}(A) = \operatorname{Int}(A) \cup \partial A $$

さらに、内部と境界は重なりを持たない。

$$ \operatorname{Int}(A) \cap \partial A = \emptyset $$

したがって、閉包は内部と境界を合わせることでちょうど得られる。

$$ \operatorname{Cl}(A) = \operatorname{Int}(A) \cup \partial A $$

以上により主張が示された。