境界が空である集合と開閉集合（clopen）
集合 \(A\) の境界 \(\partial A\) が空であることと、\(A\) が開集合かつ閉集合であること（clopen）とは同値である。すなわち、 $$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ is clopen} $$ が成り立つ。
この性質は、集合 \(A\) が境界点を一切持たないことを意味する。ここでいう境界点とは、\(A\) の閉包とその補集合の閉包の両方に含まれる点のことである。
具体例で理解する
例 1
標準位相を備えた位相空間 \(\mathbb{R}\) において、集合 \( A = \emptyset \) を考える。
まず、境界 \(\partial A\) が空になるかを確認する。
\(A = \emptyset\) の閉包は次の通りである。
$$ \text{Cl}(A) = \emptyset $$
補集合は \(A^c = \mathbb{R}\) である。
その閉包は \(\mathbb{R}\) 自身であり、すでに閉集合である。
$$ \text{Cl}(A^c) = \mathbb{R} $$
したがって、境界は次のように求められる。
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset \cap \mathbb{R} = \emptyset $$
境界は空であるため、この集合は開閉集合である。
空集合は定義により開集合であり、同時に自明に閉集合でもある。
例 2
次に、集合 \( A = \mathbb{R} \) を考える。
同様に境界を調べる。
$$ \text{Cl}(A) = \mathbb{R} $$
補集合は空集合である。
$$ A^c = \emptyset $$
その閉包は次の通りである。
$$ \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$
したがって、
$$ \partial A = \mathbb{R} \cap \emptyset = \emptyset $$
この場合も境界は空であるため、\(A\) は開閉集合である。
実数全体もまた、開集合であり閉集合でもある。
例 3
最後に、集合 \(A = [0,1)\) を考える。
同様に境界を求める。
\(A\) の閉包は
$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$
補集合は
$$ A^c = (-\infty, 0) \cup [1, \infty) $$
その閉包は
$$ \text{Cl}(A^c) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
したがって、境界は
$$ \partial A = [0,1] \cap \left( (-\infty, 0] \cup [1, \infty) \right) = \{0, 1\} $$
この場合、境界は空ではない。
したがって、この集合は開閉集合ではない。
\([0,1)\) は開集合でも閉集合でもないことが分かる。
これらの例から、境界が空であることと開閉集合であることが対応していることが直感的に理解できる。
証明
定義を確認する。集合 \(A\) の境界は次で与えられる。
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) $$
以下では、この性質が両方向で成り立つことを示す。
1] 境界が空ならば、集合 \(A\) は開集合かつ閉集合である
\(\partial A = \emptyset\) と仮定する。
すると、
$$ \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$
すなわち、両方の閉包に同時に属する点は存在しない。
閉集合であること
このとき、\(\text{Cl}(A)\) の任意の点は \(\text{Cl}(A^c)\) に含まれないため、
$$ \text{Cl}(A) \subseteq A $$
一方で常に \(A \subseteq \text{Cl}(A)\) が成り立つので、
$$ \text{Cl}(A) = A $$
よって \(A\) は閉集合である。
開集合であること
同様に、
$$ \text{Cl}(A^c) \subseteq A^c $$
が成り立つため、\(A^c\) は閉集合である。
したがって、その補集合である \(A\) は開集合である。
以上より、\(A\) は開集合かつ閉集合である。
2] 集合 \(A\) が開集合かつ閉集合ならば、境界は空である
\(A\) が開集合かつ閉集合であると仮定する。
閉集合であることから、
$$ A = \text{Cl}(A) $$
また開集合であることから、
$$ A = \text{Int}(A) $$
さらに、補集合 \(A^c\) も閉集合であるため、
$$ A^c = \text{Cl}(A^c) $$
したがって、
$$ \partial A = A \cap A^c $$
集合とその補集合の共通部分は空であるため、
$$ \partial A = \emptyset $$
3] 結論
以上より、
$$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ is clopen} $$
が成り立つ。
